Ciao a tutti. Ho questo problema:
Ciao a tutti. Ho questo problema:
"Determina l'equazione della retta tangente e della retta normale al grafico della funzione y=5x^3-2x^2 nel suo punto di ascissa x=1."
Ho trovato correttamente la retta tangente y=11x-8 ma ho problemi nella retta normale.
Normale è perpendicolare quindi ho posto m=-1/11 ma non riesco a calcolare q.
[y=-1/11x+34/11]
Qualcuno può aiutarmi? Grazie.
La retta passante in un punto si scrive come:
$y-y_0 = m (x-x_0)$ in cui $m = f'(x_0)$
$f(1) = 3 = y_0$
$f'(x) = 15x^2 - 4x$ calcolata nel punto $x_0 = 1$ si ha che:
$f'(1) = 11$
la retta tangente alla funzione nel punto $(1,3)$ vale:
$y-3 = 11(x-1)$ cioè $y= 11x -8$
affinchè una retta sia perpendicolare ad un altra il suo coefficiente angolare $m'$ deve essere uguale a $-\dfrac{1}{m} = -\dfrac{1}{11}$
di conseguenza riscrivo l'equazione della retta passante per un punto sostituendo $m'$ ad $m$:
$y-y_0 = m' (x-x_0)$
$y-3 = -\dfrac{1}{11} (x-1)$
$y = -\dfrac{1}{11}x + \dfrac{34}{11}$
in cui $q = \dfrac{34}{11}$
A) Per il punto P(u, v) passano tutte e sole le rette:
* x = u, parallela all'asse y;
* y = v + k*(x - u), per ogni pendenza k reale.
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Se k = 0, la normale alla y = v è la x = u (e viceversa).
Se k != 0, la normale alla y = v + k*(x - u) è la y = v - (x - u)/k.
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B) Data la funzione
* f(x) = y = 5*x^3 - 2*x^2
si ha
* dy/dx = m(x) = (15*x - 4)*x
* f(1) = 5*1^3 - 2*1^2 = 3
* m(1) = (15*1 - 4)*1 = 11
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C) "Determinare le equazioni delle rette tangente e normale al grafico di f(x) nel punto T(1, 3)"
Per quanto sopra, la tangente ha pendenza 11 e la normale - 1/11; quindi sono entrambe della forma
* y = 3 + k*(x - 1)
e cioè
* y = 3 + 11*(x - 1)
* y = 3 - (x - 1)/11
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D) Vedi
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Bx%5E2%2B%28y%2B1%29%5E2%3D1%2F100%2Cy%3D5*x%5E3-2*x%5E2%2Cy%3D3%2B11*%28x-1%29%2Cy%3D3-%28x-1%29%2F11%5Dx%3D-3to3%2Cy%3D-2to4
dove il cerchietto serve a forzare un grafico monometrico.