[Risolto] Retta tangente all'iperbole

PER CAPIRE LA TEORIA E IL COME IMPOSTARE GLI ESERCIZI si deve iniziare a comprendere prima la situazione astratta e la sua soluzione generale e solo dopo occuparsi dei casi particolari che, procedendo così, risulteranno più facilmente comprensibili in quanto applicazioni di una serie già compresa di ragionamenti.
------------------------------
PROBLEMA GENERICO: sono dati il punto P(u, v) e la conica Γ in forma normale canonica (Γ ≡ f(x, y) = 0) e si chiede di determinare, se ne esistono, tutte le eventuali rette per P tangenti Γ.
---------------
Si danno tre casi.
a) P cade nella concavità della conica Γ e per esso non passa alcuna tangente.
b) P appartiene a Γ e la sua polare p rispetto ad essa le è tangente.
c) P cade nella parte di piano cui Γ rivolge la convessità e la polare p interseca Γ nei punti T di tangenza delle tangenti che passano per il polo P.
---------------
La procedura risolutiva è in due passi: determinare l'equazione della retta polare p e farne sistema con quella della conica Γ.
L'esame della soluzione determina i passi successivi.
* nessuna intersezione reale: caso "a", basta così.
* una intersezione reale doppia in P: caso "b", basta così.
* una intersezione reale semplice in T: caso "c", costruire la congiungente PT.
* due intersezioni reali distinte in T1 e T2: caso "c", costruire le congiungenti PT1 e PT2.
---------------
L'equazione della retta polare p si ricava dalla f(x, y) = 0 per "sdoppiamento", cioè eseguendo le sostituzioni
* x^2 → u*x
* y^2 → v*y
* x*y → (v*x + u*y)/2
* x → (u + x)/2
* y → (v + y)/2
------------------------------
PROBLEMA SPECIFICO: sono dati il punto P(0, 2) e la conica Γ ≡ x*y = 2 e si chiede di determinare, se ne esistono, tutte le eventuali rette per P tangenti Γ.
---------------
Risoluzione
* Γ ≡ x*y = 2 ≡ x*y - 2 = 0
* p ≡ (2*x + 0*y)/2 - 2 = 0 ≡ x = 2
* p & Γ ≡ (x = 2) & (x*y = 2) ≡ T(2, 1)
* PT ≡ y = 2 - x/2
---------------
Vedi ai link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D2-x%2F2%2Cx*y%3D2%5D
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D2-x%2F2%2Cx*y%3D2%5Dx%3D-9to9%2Cy%3D-9to9

traccia di soluzione:

1) scrivi l'equazione del fascio di rette proprio che ha per sostegno il punto P(0,2)

2) metti a sistema questa equazione appena trovata con xy=2. Fai le sostituzioni del caso e ti troverei con una equazione di secondo grado. imponi il Delta=0 e trovi le condizioni di tangenza.

Buon lavoro