Sia r retta tangente ad una sfera, ovvero tale che R=d(C, r), con R raggio e C centro della sfera; dimostrare che il vettore CP con P punto di tangenza è ortogonale alla direzione della retta.
Sia r retta tangente ad una sfera, ovvero tale che R=d(C, r), con R raggio e C centro della sfera; dimostrare che il vettore CP con P punto di tangenza è ortogonale alla direzione della retta.
Credo che questi esercizi su minima distanza ed ortogonalità girino tutti intorno allo stesso concetto, ma qui
mi sembra gestibile in modo più semplice. Se (a b c) é il vettore direzione della tangente, la distanza
CP, o il suo quadrato, é minima nel punto di tangenza. Ovvero
CP^2 = min
(at + xP - xC)^2 + (bt + yP - yC)^2 + (ct + zP - zC)^2 = min
la condizione necessaria di estremo si scrive
2 (at + xP - xC) * a + 2 (bt + yP - yC) *b + 2 (ct + zP - zC) * c = 0
2 CP * (a b c)' = 0
CP é ortogonale a t
@eidosm se prendo PP' come direzione della retta, come dimostro che <CP, PP'>=0?
Intersecando la sfera col piano individuato da r e C si ha una circonferenza che r tange in P.
L'ortogonalità al raggio è condizione necessaria e sufficiente per la tangenza.