[Risolto] Retta tangente ad una sfera

Sia $r$ una retta tangente ad una sfera di centro $C$ e raggio $R$, e sia $P$ il punto di tangenza tra $r$ e la sfera. Sia inoltre $D$ la direzione della retta $r$, e sia $v$ un vettore parallelo a $D$. Vogliamo dimostrare che $CP$ è ortogonale a $D$, ovvero che $CP\cdot v = 0$.

Consideriamo il triangolo $COP$, dove $O$ è il centro della sfera. Poiché $COP$ è un triangolo rettangolo, abbiamo che:

$$
CP^2 = CO^2 + OP^2
$$

Ma $CO = R$ e $OP$ è la distanza tra $P$ e $r$, che è zero poiché $P$ è il punto di tangenza di $r$ con la sfera. Quindi, $CP^2 = R^2$, e di conseguenza $CP = R$.

Ora, consideriamo un vettore $v$ parallelo alla direzione $D$ della retta $r$. Poiché $v$ è parallelo a $D$, possiamo scrivere $v = tD$ per qualche scalare $t$. Inoltre, poiché $r$ è tangente alla sfera, la retta passa per il punto $P$, che è un punto sulla sfera. Quindi, il vettore $v$ è perpendicolare al vettore $CP$ perché $CP$ è il raggio della sfera che va dal centro $C$ al punto $P$. Di conseguenza, abbiamo:

$$
CP \cdot v = CP \cdot tD = t(CP \cdot D)
$$

Ma $CP = R$ e $D$ è la direzione della retta, quindi $CP \cdot D = 0$ perché la retta è tangente alla sfera e quindi perpendicolare al raggio nel punto di tangenza. Pertanto, $CP \cdot v = 0$ per ogni vettore $v$ parallelo alla direzione della retta, e quindi $CP$ è ortogonale alla direzione della retta.