Tutti i gusti sono personali, ma se ti perdi lascia perdere Izu e comprati un libro leggibile dove la tua attenzione resti sulla materia e non su linguaggio e simbologia. Per superare l'esame di Geometria 2 occorre padronanza degli argomenti, non del Vaisman.
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Prima di accettare il tuo "Grazie a chi può aiutarmi" dovrei sapere se ciò che vado a scrivere ti sarà risultato di un qualche aiuto o non t'avrà procurato ulteriore confusione.
Un metodo che ho sempre non solo adottato per evitare di dover dire "mi esce una cosa strana", ma che ho anche consigliato a molti dei miei alunni è «Mai affrontare direttamente un problema dall'apparenza intricata! Prima lo generalizzo, poi risolvo il caso generale e solo alla fine particolarizzo la soluzione sul caso specifico.».
In questo caso "sto studiando il caso di intersezione tra retta e circonferenza", "come si trova l'equazione della retta tangente?", e "come si dimostra che la retta tangente è unica per ogni punto?" lo generalizzerei in
1) come si studia la reciproca posizione fra una retta e una conica non degeneri?
e
2) come si trovano, se esistono, le rette tangenti una conica non degenere tratte da un punto dato?
Se ti va bene, prosegui a leggere; se no, lascia perdere e leggi le altre risposte.
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CONICA NON DEGENERE
Ogni equazione razionale intera di grado due nelle variabili (x, y) che, con opportune traslazioni e rotazioni si riduca alle forme normali standard
* Γ ≡ y = a*x^2 (parabola di apertura "a")
* Γ ≡ (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1 (ellisse di semiassi "a, b"; circonferenza di raggio "r = a = b")
* Γ ≡ (x/a)^2 - (y/b)^2 = ± 1 (iperbole di semiassi "a, b")
con le corrispondenti forme normali canoniche
* Γ ≡ p(x, y) = 0
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RETTA NON DEGENERE
* r ≡ a*x + b*y + c = 0
con (a, b) non entrambi nulli.
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Per il punto P(u, v) passano tutte e sole le rette
* x = u, parallela all'asse y;
* y = v + k*(x - u), per ogni pendenza k reale.
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1) come si studia la reciproca posizione fra r e Γ?
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Il sistema "r & Γ" ha per risolvente l'equazione di Γ in cui a una variabile si sostituisce la sua espressione nell'altra ricavata dall'equazione di r: quindi è un'equazione di grado due nell'altra variabile, con discriminante pari a Δ.
1a) se Δ < 0 allora non ci sono intersezioni reali: r è esterna a Γ;
1b) se Δ = 0 allora ci sono due intersezioni reali coincidenti: r è tangente Γ;
1c) se Δ > 0 allora ci sono due intersezioni reali distinte: r è secante Γ.
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2) come si trovano, se esistono, le rette tangenti Γ tratte dal punto P(u, v)?
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Anzitutto si ottiene la retta "p" (la polare di P, il polo, nella polarità indotta da Γ), dall'equazione di Γ in forma normale canonica, f(x, y) = 0, lasciandone inalterati i coefficienti e operando le sostituzioni (formule di sdoppiamento):
* x^2 → u*x
* y^2 → v*y
* x*y → (v*x + u*y)/2
* x → (u + x)/2
* y → (v + y)/2
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Poi, come sub 1, si calcola il discriminante dell'equazione risolvente il sistema "p & Γ"
2a) se Δ < 0 allora p è esterna a Γ e P le è interno: nessuna tangente da P;
2b) se Δ = 0 allora p è tangente Γ e P le appartiene: p è la tangente in P;
2c) se Δ > 0 allora p è secante Γ le è esterno: p interseca Γ nei punti di tangenza delle due tangenti condotte da P.
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"Finora ho capito che si considera ||P-C||=R^2 l'equazione di una circonferenza e P=P0+tu l'equazione parametrica di una retta r. Se interseco ..."
E NO, COSI' T'IMPICCI!
Prima d'intersecare passa alle forme cartesiane, con C(a, b) e P0(u, v)
* ||P-C|| = R^2 ≡ (x - xC)^2 + (y - yC)^2 = R^2 ≡
≡ x^2 + y^2 - 2*a*x - 2*b*y + a^2 + b^2 - R^2 = 0
* P = P0 + t*u ≡
≡ (x = u) oppure (y = v + k*(x - u))
e da qui in poi segui i punti uno e due.
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"come si dimostra che la retta tangente è unica per ogni punto di Γ?"
Come in 2b: ciascun punto P di Γ ha per polare la propria tangente e qualsiasi altra retta per P sarebbe secante Γ.
