Sia A = (1,2,-1)
B = (0,1,1)
nel procedimento c’è scritto che le equazioni della retta presa come intersezione di due spazi si ricavano così: x=y-1= (z-1)/(-2)
—> { x-y+1=0, 2x+z-1=0
non capisco i passaggi mancanti e soprattutto la formula usata. Non so se sono stati trovati parametri direttori o altro…qualcuno potrebbe scrivermi i passaggi completi per ottenere quel sistema finale?
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Livello 1
[1, 2, -1]
[0, 1, 1]
Scriviamo:
{x = 1 + α·t
{y = 2 + β·t
{z = -1 + γ·t
In modo tale da avere per t=0---> [1, 2, -1]
per t=1----> [0, 1, 1]
{0 = 1 + α·1---->α = -1
{1 = 2 + β·1---->β = -1
{1 = -1 + γ·1---->γ = 2
Quindi:
{x = 1 - t
{y = 2 - t
{z = 2·t - 1
t = 1 - x; t = 2 - y; t = (z + 1)/2
1 - x = 2 - y = (z + 1)/2
equivale a scrivere:
{1 - x = 2 - y
{1 - x = (z + 1)/2
Quindi:
{x - y + 1 = 0
{2·x + z - 1 = 0
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Genius II
@lucianop scusa, non capisco perché all’inizio
In modo tale da avere per t=0---> [1, 2, -1]
per t=1----> [0, 1, 1]
bisogna scegliere t = 0 e poi t=1, in base a cosa nel primo caso 0 e nel secondo 1? È sempre così?
Assolutamente NO. Ho fatto, credo, una scelta opportuna: puoi scegliere come ti pare. L'importante è che tu sia coerente con quella scelta. Come si fa quando risolvi un problema con le equazioni.
Estendendo a 3 dimensioni quello che si fa con la retta passante per due punti nel piano
escono DUE equazioni
(x-1)/(0 -1) = (y - 2)/(1 - 2) = (z+1)/(1+1)
(x-1)/(-1) = (y-2)/(-1) = (z+1)/2
(x-1) = y - 2 = (z+1)/2
x = y-1 = (z+1)/2
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Livello 7
Io posso "scriverti i passaggi completi per ottenere quel sistema finale", però iniziando dall'inizio "retta passante per A(1, 2, - 1) e per B(0, 1, 1)"; non dal tuo risultato intermedio "x=y-1= (z-1)/(-2)" perché se non lo spieghi io non posso sapere se sia corretto o no. Casomai, dopo.
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PASSAGGI COMPLETI
Le coordinate del punto cursore P che percorre la retta AB congiungente A(1, 2, - 1) con B(0, 1, 1) costituiscono le equazioni parametriche di AB mentre "quel sistema finale", se ne è un equivalente corretto, è l'espressione cartesiana della medesima retta. Se così è allora resta da dimostrare solo l'equivalenza con "x=y-1= (z-1)/(-2)".
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A) Costruire il cursore.
* P = A + k*(B - A) = (1, 2, - 1) + k*((0, 1, 1) - (1, 2, - 1)) = (1 - k, 2 - k, 2*k - 1)
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B) Formare le equazioni parametriche di AB.
* (x = 1 - k) & (y = 2 - k) & (z = 2*k - 1)
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C) Risolvere in k il sistema delle parametriche e massaggiare il risultato.
* (x = 1 - k) & (y = 2 - k) & (z = 2*k - 1) ≡
≡ (k = 1 - x) & (y = x + 1) & (z = 1 - 2*x) ≡
≡ (irrilevante) & (x - y + 1 = 0) & (2*x + z - 1 = 0) ≡
≡ (x - y + 1 = 0) & (2*x + z - 1 = 0)
e questo è "quel sistema finale", che risulta corretto.
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Circa "x=y-1= (z-1)/(-2) —> { x-y+1=0, 2x+z-1=0", basta spezzare l'eguaglianza continua e massaggiare il risultato.
* "x=y-1= (z-1)/(-2)" ≡
≡ (x = y - 1) & (y - 1 = (z - 1)/(- 2)) ≡
≡ (x = y - 1) & ((- 2)*(y - 1) - (z - 1) = 0) ≡
≡ (x - y + 1 = 0) & ((- 2)*x - (z - 1) = 0) ≡
≡ (x - y + 1 = 0) & (- 2*x + 1 - z = 0) ≡
≡ (x - y + 1 = 0) & (2*x + z - 1 = 0)
e questo pure è "quel sistema finale".
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Genius I
