[Risolto] Retta e piano cartesiano, esercizi in preparazione alla verifica

1° esercizio

[-2, 1] 

[4, 3]

Sono i punti dati e sono estremi del segmento AB: se si vuole che BC e BD siano basi di triangoli isosceli, vuol dire che:

r = ΑΒ = ΑC = ΑD

è il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo BCD per cui A costituisce il centro di tale circonferenza, cioè il circocentro del triangolo stesso.

r = √((4 + 2)^2 + (3 - 1)^2)----> r = 2·√10

(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = (2·√10)^2 equazione circonferenza

Determino i punti richiesti C e D mettendo a sistema:

{x^2 + y^2 + 4·x - 2·y - 35 = 0

{x = 0

per sostituzione:

0^2 + y^2 + 4·0 - 2·y - 35 = 0

y^2 - 2·y - 35 = 0

(y + 5)·(y - 7) = 0

y = 7 ∨ y = -5

Quindi:

[0, 7] punto C

[0, -5] punto D

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Esercizio 2

1/2·ΑC·ΒD = 20

[-3, -3] punto A

[1, 5] punto C

AC=√((1 + 3)^2 + (5 + 3)^2) = 4·√5

BD = 2·20/(4·√5) =2·√5

Punto medio AC:

{x = (1 - 3)/2= -1

{ y = (5 - 3)/2 = 1

Coefficiente angolare AC:

m = (5 + 3)/(1 + 3) = 2

retta passante per O [-1, 1] e perpendicolare ad AC:

y - 1 = - 1/2·(x + 1)---> y = 1/2 - x/2

Circonferenza con centro in O e di raggio:

r = 1/2·ΒD = √5

(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = √5^2

che metto a sistema con la retta trovata:

{(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = √5^2

{y = 1/2 - x/2

Risolvo ed ottengo i punti richiesti:

[x = 1 ∧ y = 0, x = -3 ∧ y = 2]