Retta e piano cartesiano

@MartinaLapaglia

ORTOCENTRO: Pto di incontro delle altezze

Calcolo l'altezza relativa al lato BC, quindi la retta perpendicolare a BC e passante per il punto A (l'altezza è il segmento di perpendicolare condotto da un vertice al lato opposto).

Calcolo quindi il coefficiente angolare della retta contenente BC

m_BC= - 9/5

Quindi il coefficiente angolare della retta contenente l'altezza relativa al lato BC sarà 

m1= 5/9 (prodotto m*m1= - 1)

La retta passa anche per A per cui avrà equazione 

y-1 = 5/9* (x+2)

Mettendo a sistema l'equazione della retta trovata con l'altezza data, ossia y=4x + 4 possiamo trovare le coordinate ortocentro. 

Risulta:

5/9*x + 10/9 + 1 = 4x + 4

5x + 19 = 36x + 36

31x= - 17

x= - 17/31

Sostituendo tale valore in y=4x + 4 otteniamo 

y= - 68/31 + 4 = (124-68)/31 = 56/31

Abbiamo trovato le coordinate ORTOCENTRO 

PUNTO (4)

La retta che cerchiamo è parallela ad AB e avrà quindi coefficiente angolare - 1/4.

Siano U e R le intersezioni di tale retta con i lati AC e BC del triangolo. I triangoli CUR e CAB risultano simili poiché hanno i tre angoli congruenti (C in comune e gli altri due formati da rette parallele tagliate da una trasversale). 

Essendo simili sappiamo che il rapporto tra le aree è uguale al quadrato del rapporto tra i lati e il rapporto tra le altezze uguale al rapporto tra i lati. Quindi il rapporto tra le aree è il quadrato del rapporto delle altezze.

Ma il rapporto tra le aree deve essere 1/4 e quindi il rapporto tra le altezze dovrà essere 1/2

Quindi CK altezza del triangolo CUR, relativa al lato UR sarà la metà di CK1, altezza del triangolo ABC relativa al lato AB

Posso quindi facilmente determinare k1 come intersezione tra l'altezza data e la retta contenente il lato AB.

{y= 4x+4

{y=-x/4 + 1/2

Il sistema permette di trovare le coordinate di k1

X_k1= - 14/17

Y_k1= 12/17

Per la similitudine dei triangoli le coordinate di k, punto medio di CK1, risultano essere:

X_k= (X_c + X_k1) /2 = (1-14/17)/2 = 3/34

Y_k= (Y_c + Y_k1) /2 = (8+12/17)/2 = 74/17

La retta contenente il segmento UR e parallela ad AB avrà dunque equazione 

Y- 74/17 = - 1/4* (x-3/34)

Y= - x/4 + 35/8

Ossia 8y + 2x = 35

SPECIFICARE LE FORMULE (per l'ortocentro, la procedura: non c'è formula!)
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Tre punti formano triangolo se non sono allineati.
L'area del triangolo che ha i vertici
* A ≡ P1(x1, y1), B ≡ P2(x2, y2), C ≡ P3(x3, y3)
è metà del valore assoluto di una semplice espressione delle coordinate
* S(ABC) = (1/2)*|x1*(y2 - y3) - x2*(y1 - y3) + x3*(y1 - y2)|
Se tre punti sono allineati l'area del triangolo che li ha per vertici è zero.
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Dalle coordinate dei vertici A, B, C si calcolano i diversi centri come segue.
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1) circumcentro P: è equidistante da A, B e C, soluzione del sistema
* |PA|^2 = |PB|^2 = |PC|^2 = R^2 ≡
≡ (|PA|^2 = R^2) & (|PB|^2 = R^2) & (|PC|^2 = R^2) & (R > 0)
dove
* |PU|^2 = (x - u)^2 + (y - v)^2
è la relazione pitagorica sulle differenze di coordinate di P(x, y) e U(u, v).
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2) incentro I: è equidistante dai tre lati (a, b, c), soluzione di
* |Ia|^2 = |Ib|^2 = |Ic|^2 = r^2
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3) baricentro G: ogni coordinata è la media delle omologhe dei vertici
* xG = (xA + xB + xC)/3
* yG = (yA + yB + yC)/3
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4) ortocentro H: è l'intersezione di due altezze, cioè delle perpendicolari a due lati condotte dai relativi vertici opposti.
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Dettagli di calcolo
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A) incentro e ortocentro: la retta di un lato è la congiungente dei suoi vertici.
La retta AB congiungente due dati punti A(a, p) e B(b, q) è
* per a = b: AB ≡ x = a
* per p = q: AB ≡ y = p
* per (p = k*a) & (q = k*b): AB ≡ y = k*x
* per a != b: AB ≡ y = ((p - q)/(a - b))*x + (a*q - b*p)/(a - b)
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B) incentro
La distanza del punto P(u, v) dalla retta y = m*x + q è
* d(u, v, m, q) = |(m*u + q - v)|/√(m^2 + 1)
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C) ortocentro
Il fascio improprio, di parametro k, delle perpendicolari alla retta y = m*x + q ha la forma
* r(k) ≡ y = k - x/m
fra esse quella per P(u, v), dovendo soddisfare al vincolo
* v = k - u/m ≡ k = v + u/m
risulta
* r(v + u/m) ≡ y = v + (u - x)/m
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SVOLGIMENTO DELL'ESERCIZIO
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* A(a, m), B(6, - 1), C(c, n) ≡ un vertice dato, due incogniti.
* CM ≡ y = - 8*(x - 2) ≡ mediana su AB
* CD ≡ y = 4*(x + 1) ≡ altezza su AB
da cui ovviamente si ha subito
* CD & CM ≡ (y = 4*(x + 1)) & (y = - 8*(x - 2)) ≡ C(1, 8)
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Il lato AB è la perpendicolare per B alla CD che interseca in D: dal punto "C) ortocentro" si ha
* AB ≡ y = (2 - x)/4
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Il sistema
* AB & CM ≡ (y = (2 - x)/4) & (y = - 8*(x - 2)) ≡ M(2, 0)
dà il punto medio di AB a distanza da B
* |BM| = |AB|/2 = √17
da cui, determinando A, si completa la risposta al quesito #1
* A(- 2, 1), B(6, - 1), C(1, 8)
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Per i quesiti #2 e #3 si ha, applicando quanto SPECIFICATO prima,
* G(5/3, 8/3)
* H(- 17/31, 56/31)
* S(ABC) = 31
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Per il quesito #4 è utile quanto detto al paragrafo "B) incentro".
Da
* (|AB| = b = 2*√17) & (S(ABC) = b*h/2 = 31) ≡ h = 31/√17
si deve trovare, nel fascio delle parallele alla AB (y = 1/2 - x/4),
* p(q) ≡ y = q - x/4
quella per cui la distanza da C sia h/2 di modo che, per similitudine, si abbia un triangolo di area 31/4; cioè
* |4*q - 33|/√17 = 31/(2*√17) ≡ (q = 35/8) oppure (q = 97/8)
da cui
* y = 35/8 - x/4
* y = 97/8 - x/4
ed entrambe queste rette formano, con le rette AC e BC, un triangolo di area 31/4.

Mi sembra di aver già risposto a questa domanda. O sbaglio?

https://www.sosmatematica.it/forum/domande/retta-e-punti/#post-40270