Determina le equazioni delle rette parallele alla retta di equazione $y=\frac{1}{2} x$, che individuano sulla circonferenza di equazione $x^2+y^2-4 x-6 y-3=0$ una corda avente la stessa misura del lato di un esagono regolare inscritto nella circonferenza.
3366
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Livello 2
Il lato L dell'n-agono inscritto nella circonferenza di circumraggio R è
* L = 2*sin(π/n)*R
mentre l'inraggio r (cioè l'apotema a dell'n-agono) è
* r = a = cos(π/n)*R
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La circonferenza
* x^2 + y^2 - 4*x - 6*y - 3 = 0 ≡ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4^2
ha
* centro C(2, 3)
* raggio R = 4
* lato dell'esagono inscritto L = R = 4
* inraggio dell'esagono inscritto r = 2*√3
* incerchio dell'esagono inscritto Γ ≡ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = (2*√3)^2
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Nel fascio di parallele
* r(q) ≡ y = x/2 + q
le due rette tangenti Γ devono avere q tale da annullare il discriminante della risolvente del sistema
* r(q) & Γ ≡ (y = x/2 + q) & ((x - 2)^2 + (y - 3)^2 = (2*√3)^2)
risolvente
* (x - 2)^2 + (x/2 + q - 3)^2 = (2*√3)^2 ≡
≡ x^2 + (4/5)*(q - 7)*x + (4/5)*(q^2 - 6*q + 1) = 0
* Δ(q) = - (64/25)*(q^2 - 4*q - 11) = 0 ≡
≡ (q1 = 2 - √15) oppure (q2 = 2 + √15)
da cui le rette richieste
* r(q1) ≡ y = x/2 + 2 - √15
* r(q2) ≡ y = x/2 + 2 + √15
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28x-2%29%5E2%3D4%5E2-%28y-3%29%5E2%2C%28x-2%29%5E2%3D%282*%E2%88%9A3%29%5E2-%28y-3%29%5E2%2Cy-2%3Dx%2F2-%E2%88%9A15%2Cy-2-%E2%88%9A15%3Dx%2F2%5Dx%3D-3to8%2Cy%3D-3to8
57382
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Genius I
qui, rispetto all'altro esercizio simile a cui ti ho risposto in precedenza, ho utilizzato una scorciatoia geometrica evitando così il solito sistema e la solita distanza tra punti parametrici. Ti consiglio però di mettere sul sito UN solo esercizio di una tipologia in modo da fare gli altri AUTONOMAMENTE.
546
punti
Livello 1
