[Risolto] RETTA E CIRCONFERENZA.

La bisettrice del II/IV quadrante ha equazione $y=-x$, pertanto le rette parallele sono della forma:

$ y = -x+k$

Troviamo le intersezioni del fascio di rette con la circonferenza:

{$ y = -x+k$

{$ x^2 + y^2 -6x = 0$

sostituendo la $y$ nella seconda:

$ x^2 + (-x+k)^2 -6x = 0$

$ x^2 + x^2 -2kx + k^2 -6x = 0$

$ 2x^2 +x(-2k-6) + k^2 = 0$

Risolvendo l'equazione:

$ x_{12} = \frac{2k+6 \pm \sqrt{(-2k-6)^2 -8k^2}}{4}$

da cui

$ y_{23} = -\frac{2k+6 \pm \sqrt{(-2k-6)^2 -8k^2}}{4} + k$

Dunque le intersezioni hanno coordinate:

$P_1 = (\frac{2k+6 + \sqrt{(-2k-6)^2 -8k^2}}{4}, -\frac{2k+6 + \sqrt{(-2k-6)^2 -8k^2}}{4}+k$

$P_2 = (\frac{2k+6 - \sqrt{(-2k-6)^2 -8k^2}}{4}, -\frac{2k+6 - \sqrt{(-2k-6)^2 -8k^2}}{4}+k$

Calcoliamo la distanza

$ P_1P_2 = \sqrt{(x_{P1}-x_{P2})^2+(y_{P1}-y_{P2})^2}$

nota che nel sottrarre le coordinate, rimangono solo le radici, che si sommano tra loro:

$ P_1P_2 = \sqrt{(\frac{2\sqrt{(-2k-6)^2 -8k^2}}{4})^2+(-\frac{2\sqrt{(-2k-6)^2 -8k^2}}{4})^2}$

$ P_1P_2 = \sqrt{(\frac{\sqrt{(-2k-6)^2 -8k^2}}{2})^2+(-\frac{\sqrt{(-2k-6)^2 -8k^2}}{2})^2}$

svolgo i quadrati:

$P_1P_2 = \sqrt{\frac{(-2k-6)^2 -8k^2}{4}+\frac{(-2k-6)^2 -8k^2}{4}}$

sommo e pongo pari a 2:

$P_1P_2 = \sqrt{\frac{(-2k-6)^2 -8k^2}{2}} = 2$

Elevando ambo i membri:

$\frac{(-2k-6)^2 -8k^2}{2} = 4$

$(-2k-6)^2 -8k^2 = 8$

$ 4k^2 -24k + 36 -8k^2 = 8$

$ -4k^2 -24k + 28 = 0$

otteniamo le soluzioni:

$ k=1$  e $k=-7$

Noemi

• Equazione bisettrice 2°-4° quadrante. y = -x
• Equazione fascio rette parallele alla bisettrice 2°-4° q.                 y = -x + k; con k∈ℝ.
• I punti di intersezione $P_0(x_0, y_0); \,\, P_1(x_1,y_1)$ del fascio di rette con la circonferenza si ottengono risolvendo il sistema:

$\left\{\begin{aligned} x^2+y^2-6x &= 0 \\ y &= -x+k \end{aligned}\right.$

Per sostituzione della seconda nella prima si ottiene 

$x^2 -(k+3)x + (\frac{k^2}{2}) = 0$

Le cui due soluzioni sono:

$ x = (\frac{1}{2}) (k+3 ± \sqrt{-k^2+6k+9})$

a cui corrispondono le coordinate dei due punti $P_0$  e  $P_1$

• • Coordinate $P_0$

$x_0 = (\frac{1}{2}) (k+3 - \sqrt{-k^2+6k+9})$

che sostituita nell'equazione della retta ci da

$y_0 = (\frac{1}{2}) (k-3 + \sqrt{-k^2+6k+9})$

• • Coordinate $P_1$

$x_1 = (\frac{1}{2}) (k+3 + \sqrt{-k^2+6k+9})$

che sostituita nell'equazione della retta ci da

$y_1 = (\frac{1}{2}) (k-3 - \sqrt{-k^2+6k+9})$

Indichiamo con $d^2_{0,1}$ il quadrato della distanza tra i due punti e imponiamo che sia 4. (Lavoro con i quadrati per semplificare le notazioni, le distanze sono per definizione, positive o nulle quindi non ci sono rischi di dimenticanze)

$ d^2_{0,1} = 4 = ((x_0 - x_1)^2 + (y_0 - y_1)^2)$

semplificando e infine quadrando

$ 4 = ((-k^2+6k+9) + (-k^2+6k+9))$ 

$ k^2 - 6k - 7 = 0$

Le cui soluzioni sono: k = -1; k = 7 

Abbiamo così trovato due possibili valori di k; le due rette del fascio corrispondenti saranno

i) y = - x -1 ovvero in forma implicita x + y + 1 = 0

ii) y = - x + 7 ovvero in forma implicita x + y - 7 = 0

La circonferenza
* x^2 + y^2 - 6*x = 0 ≡ (x - 3)^2 + y^2 = 3^2
ha
* centro C(3, 0)
* raggio R = 3
La corda di misura c = 2 è a distanza d da C tale che
* d^2 = R^2 - (c/2)^2 = 8
quindi tutte le secanti che staccano tale corda sono le rette tangenti la circonferenza
* Γ ≡ (x - 3)^2 + y^2 = 8
Fra di esse le parallele alla bisettrice dei quadranti pari, di pendenza meno uno, sono del fascio
* r(q) ≡ y = q - x
quelle per cui il sistema
* r(q) & Γ ≡ (y = q - x) & ((x - 3)^2 + y^2 = 8)
con risolvente
* (x - 3)^2 + (q - x)^2 = 8 ≡
≡ x^2 - (q + 3)*x + (q^2 + 1)/2 = 0
ha discriminante nullo
* Δ(q) = - (q + 1)*(q - 7) = 0 ≡
≡ (q1 = - 1) oppure (q2 = 7)
da cui le rette richieste
* r(q1) ≡ y = - 1 - x
* r(q2) ≡ y = 7 - x
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28x-3%29%5E2%3D9-y%5E2%2C%28x-3%29%5E2%3D8-y%5E2%2Cy%3D-1-x%2Cy%3D7-x%5Dx%3D-1to7%2Cy%3D-4to4