[Risolto] RETTA/CIRCONFERENZA.

Problema:

Discuti, al variare di r, la posizione reciproca tra la circonferenza di equazione $x^2+y^2=r^2$ e la retta di equazione $4x-3y+1=0$.

Soluzione:

Per identificare la posizione della retta al variare di $r$ è necessario analizzare il discriminante $∆$ ricavato dal sistema retta-circonferenza.

Se $∆>0$ la retta è secante poiché si ha una radice positiva e dunque due soluzioni, pensa alla posizione del discriminante nella formula risolutiva delle equazioni di secondo grado.

Se $∆=0$ si ha un solo punto di intersezione ossia la retta è tangente alla circonferenza od in generale ad una curva.

Se $∆<0$ la retta non ha intersezioni con la circonferenza poiché le possibili soluzioni risulterebbero appartenere all'insieme $\mathbb{C}$.

Mettendo a sistema si ha:

$\left\{ \begin{array}{cc} π: x^2+y^2=r^2 \\ r: y=\frac{4x+1}{3} \end{array} \right.$

$x^2+(\frac{4x+1}{3})^2=r^2$

$25x^2+8x+1-9r^2=0$

$\frac{∆}{4}=(\frac{b}{2})^2-ac=225r^2-9=(15r-3)(15r+3)$

Si prende in analisi solamente $(15r-3)$ dato che nell'equazione della circonferenza $r$ è al quadrato e dunque sempre positivo.

Quando $15r-3>0: r>1/5$ la retta è secante, quando $15r-3=0: r=1/5$ la retta è tangente e quando $15r-3<0: r<1/5$ la retta è esterna.

L'immagine che segue è stata realizzata tramite l'elaboratore grafico Desmos.

La batteria di oggi è assai ridotta rispetto al solito, solo quattro esercizi, e riguardano tutti la reciproca posizione fra una retta e una circonferenza che, l'una o l'altra o entrambe possono essere parametrate (cioè fasci di) su uno o più coefficienti.
Procedura risolutiva
Date la retta
* r ≡ A*x + B*y + C = 0
e la circonferenza
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
si calcolano, risolvendo
* r & Γ ≡ (A*x + B*y + C = 0) & ((x - a)^2 + (y - b)^2 = q) & (A^2 + B^2 > 0)
i loro punti comuni le cui coordinate saranno espresse come "qualcosa ± √Δ".
La richiesta reciproca posizione è decisa dal segno del radicando
* per Δ < 0: r e Γ sono esterne
* per Δ = 0: r e Γ sono tangenti
* per Δ > 0: r e Γ sono secanti
Esercizi
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http://www.sosmatematica.it/forum/postid/211702/
* r ≡ y = k - 2*x
* Γ ≡ x^2 + y^2 - 6*x = 0
* r & Γ ≡ (y = k - 2*x) & (x^2 + y^2 - 6*x = 0) → Δ = - (k^2 - 12*k - 9)
* per (k < 6 - 3*√5) oppure (k > 6 + 3*√5): r e Γ sono esterne
* per (k = 6 - 3*√5) oppure (k = 6 + 3*√5): r e Γ sono tangenti
* per 6 - 3*√5 < k < 6 + 3*√5: r e Γ sono secanti
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http://www.sosmatematica.it/forum/postid/211703/
* r ≡ y = x + h
* Γ ≡ x^2 + y^2 - 2*x - 2*y = 0
* r & Γ ≡ (y = x + h) & (x^2 + y^2 - 2*x - 2*y = 0) → Δ = 4 - h^2
* per (h < - 2) oppure (h > 2): r e Γ sono esterne
* per (h = - 2) oppure (h = 2): r e Γ sono tangenti
* per - 2 < h < 2: r e Γ sono secanti
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http://www.sosmatematica.it/forum/postid/211704/
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/211705/
Te li lascio come utile passatempo, io vado a ninna.
A domani con la prossima batteria.

come ti ho scritto nel precedente esercizio, se la distanza tra il centro e la retta è 

1) minore del raggio allora la retta è secante 

2) maggior di r allora la retta è esterna

3) =r allora retta tangente, 

quindi calcola la distanza centro retta e scrivi le disequazioni per ogni caso