Dati i punti $A(2 k ; 1-2 k), B(k+3 ; k-3)$ e $C(4-k ; k)$, trova per quali valori di $k \in \mathbb{R}$ :
a. il punto medio di $A B$ appartiene all'asse $x$;
b. il segmento $A C$ non interseca l'asse $y$;
c. il baricentro del triangolo $A B C$ si trova sulla retta di equazione $y=-x+1$;
d. $\overline{A B}<\sqrt{5}$.
58
punti
Livello 0
A [2k,1-2k]
B [k+3,k-3]
C [4-k,k]
Punto medio AB appartiene asse x se yM=0
((1 - 2·k) + (k - 3))/2 = 0---> k = -2
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Il segmento AC non interseca l'asse y se le due ascisse di
A [2k,1-2k] e C [4-k,k]
sono entrambe positive od entrambe negative (in senso stretto)
{2·k > 0
{4 - k > 0
quindi: [0 < k < 4]
{2·k < 0
{4 - k < 0 sistema impossibile
Quindi: [0 < k < 4]
--------------------------------
Il baricentro del triangolo ABC si trova su y = -x+1
[x,-x+1]
{xG=(2·k + k + 3 + 4 - k)/3 = (2·k + 7)/3
{yG=(1 - 2·k + k - 3 + k)/3 = - 2/3
Deve quindi essere:
{(2·k + 7)/3 = x
{- 2/3 = -x + 1
risolvo ed ottengo: x = 5/3 ∧ k = -1
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√((k + 3 - 2·k)^2 + (k - 3 - (1 - 2·k)^2)) < √5
√(- 3·k^2 - k + 5) < √5
- 3·k^2 - k < 0----> k < - 1/3 ∨ k > 0
90141
punti
Genius II
