Scrivi l'equazione della retta $r$ della figura e considera su $r$ un punto $C$ variabile.
a. Determina il baricentro $G$ del triangolo $A B C$ e scrivi l'equazione del luogo descritto da $G$. Calcola le coordinate di $C$ quando $G$ ha ascissa 3.
b. Determina $C$ nel primo quadrante in modo che $\overline{A C}=\sqrt{17} e$ trova l'ortocentro $H$ di $A B C$.
c. Trova $C$ in modo che il triangolo $A B C$ sia isoscele, con base $A B$, e determina l'incentro di $A B C$.
9
punti
Livello 0
La retta
* r ≡ y = 2*x
congiungente l'origine con (1, 2) è il luogo descritto dal suo cursore C(k, 2*k).
I tre quesiti, fissati i punti A(1, 0) e B(5, 0), richiedono, fra l'altro, il calcolo di baricentro G, incentro I, ortocentro H del triangolo ABC sotto diverse condizioni restrittive.
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a) G è la media aritmetica semplice dei vertici
* G = (A + B + C)/3 = ((1, 0) + (5, 0) + (k, 2*k))/3 = ((k + 6)/3, 2*k/3)
e, eliminando il parametro dalle coordinate,
* (x = (k + 6)/3) & (y = 2*k/3) ≡ (k = 3*(x - 2)) & (y = 2*(x - 2))
si ha il luogo richiesto, la retta
* y = 2*(x - 2)
quindi, per xG = 3, si ha G(3, 2).
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b) b = |AC| = √(5*k^2 - 2*k + 1) = √17 ≡ k = 2
da cui
* C(2, 4)
* H(2, 3/4)
intersezione dell'altezza x = 2 con una delle altre.
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c) Il triangolo ABC è isoscele su base AB se e solo se C(3, 6), sull'asse di AB
da cui
* I(3, 2*(√10 - 1)/3)
I è la media aritmetica dei vertici ciascuno pesato con la misura del lato opposto (a = |BC|, b = |AC|, c = |AB|)
* I = (a*A + b*B + c*C)/(a + b + c)
57171
punti
Genius I
