Si consideri una rendita annua posticipata di rata pari a 5000 euro per i primi 5 anni e di 10000 euro per n anni successivi. Si determini n e l’importo della rata integrativa da pagarsi unitamente all’ultima, essendo il valore attuale della rendita pari a 60000 euro el il tasso annuo pari al 12%.
7
punti
Livello 0
Calcoliamo n per difetto e poi ci aggiungiamo l’ultima rata R’= x aggiuntiva all’anno n+5.
Con riferimento alla figura su allegata, possiamo dire che:
V = R·(u^5 - 1)/(i·u^5) + 2·R·(u^n - 1)/(i·u^(n + 5))
---------------------------------------------
60000 = 5000·(1.12^5 - 1)/(0.12·1.12^5) +
+2·5000·(1.12^n - 1)/(0.12·1.12^(n + 5))
------------------------------------------
(1.12^n - 1)/1.12^(n + 5) =
=3/250000·(60000 - 5000·(1.12^5 - 1)/(0.12·1.12^5))
------------------------------------------
(1.12^n - 1)/1.12^(n + 5) = 0.5037134278
posto: 1.12^n = t
(t - 1)/(1.12^5·t) = 0.5037134278------> t = 8.905922570
1.12^n = 8.90592257------> n = 19.2953488 anni
arrotondo n=19
Quindi:
V= R·(u^5 - 1)/(i·u^5) + 2·R·(u^19 - 1)/(i·u^(19 + 5)) + x/u^24
sostituendo:
60000 = x/1.12^24 + 5000·(1.12^24 + 1.12^19 - 2)/(0.12·1.12^24)
quindi finalmente: x = 2743.13 € rata aggiuntiva finale
94705
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Genius II
RENDITA ANNUA POSTICIPATA
* rata costante: R
* tasso annuo: i% = (i/100)
* base attualizzante: v = 1/(1 + i/100) = 100/(i + 100)
* valore attuale della rata k-ma: R/(1 + i/100)^k
* valore attuale delle rate [1, n]:
** Σ [k = 1, n] R/(1 + i/100)^k =
= R*(1 - (100/(i + 100))^n)/(i/100)
-----------------------------
* 12% = 3/25
* (1 + 12%) = 28/25
* v = 1/(1 + 12%) = 25/28
-----------------------------
I VALORI ATTUALI (al tempo t = 0)
---------------
1) rata pari a R per i primi 5 anni
* VA1 = R*(1 - (100/(12 + 100))^5)/(12/100) = (62039525/17210368)*R
--------
1a) R = 5000
* VA1a = (38774703125/2151296)
--------
1b) R = 10000
* VA1b = (38774703125/1075648)
---------------
2) rata pari a 10000 per i primi (5 + n - 1 = n + 4) anni
* VA2 = 10000*(1 - (100/(12 + 100))^(n + 4))/(12/100) =
= (250000/3)*(1 - (25/28)^(n + 4))
---------------
3) singola rata pari a (10000 + x) al tempo t = n + 5 anni
* VA3 = (10000 + x)*(1 - (100/(12 + 100))^(n + 5))/(12/100) =
= (25/3)*(1 - (25/28)^(n + 5))*(x + 10000)
---------------
4) intera rendita
* VA = VA1a + VA2 + VA3 - VA1b =
= 38774703125/2151296 + (250000/3)*(1 - (25/28)^(n + 4)) + (25/3)*(1 - (25/28)^(n + 5))*(x + 10000) - 38774703125/1075648 = 60000 ≡
≡ ((1 - (25/28)^(n + 5))*x + 10000*(2 - 53*(25/28)^(n + 4))) = 20142295575/2151296 ~≡
~≡ (0 < n < 31) & (x = 200*(28984375000 - 915344977*(28/25)^n)/(17210368*(28/25)^n - 9765625))
http://www.wolframalpha.com/input?i=table%5B%7Bn%2CN%5B200*%2828984375000-915344977*%2828%2F25%29%5En%29%2F%2817210368*%2828%2F25%29%5En-9765625%29%5D%7D%2C%7Bn%2C1%2C30%7D%5D
57383
punti
Genius I
I periodi sono annuali. La condizione sul valore attuale é
5/(1+r)^(n+4) + ... + 5/(1+r)^n + 10/(1+r)^(n-1) + ... + 10/(1+r)^0 = 60
posto a = 1/1.12
e dividendo per 5
a^(n+4) + ... + a^n + 2 * (a^(n-1) + ... + 1) = 12
a^n * (1 -a^5)/(1-a) + 2*(1 - a^n)/(1 - a) = 12
a^n - a^5 * a^n - 2 a^n = 12(1 - a) - 2
a^n (-a^5 - 1) = 10 - 12 a
a^n = (12a - 10)/(a^5 + 1)
n = log 0.4557/ log 0.8929 = 6.9348
Ponendo n = 7
la somma dei valori attuali di tutte le rate risulta 60246
Si deve quindi porre n = 6
e si ottiene 56275
con rata finale 60000 - 56275 = 3725
47885
punti
Livello 7
