[Risolto] Regione delimitata da due parabole

1. Calcoliamo le coordinate dei punti di intersezione A e B risolvendo il sistema

{y=-x^2+4x 

{y=x^2-4x+4

per confronto

-x^2+4x=x^2-4x+4

2x^2-8x+4 = 0

x^2-4x+2 = 0 due soluzioni

i) x=2-√2 a cui corrisponde y = x^2-4x+4 = (2-√2)^2-4(2-√2)+2 = 2 quindi A(2-√2,2)

ii) x=2+√2 a cui corrisponde y = x^2-4x+4 = 2 quindi B(2+√2,2)

2. Area A1 della parabola y=-x^2+4x tra A e B

A1 = 1/6 |a|(xB-xA)³ = 1/6 *1* (2+√2-2+√2)³ = 8√2/3

3. Area A2 della parabola y=x^2-4x+4

Osserviamo che |a| è eguale alla parabola precedente e che sono evidentemente eguali anche i punti di ascissa xB e xA. L'area A2 è eguale a A1

A2 = A1 = 8√2/3

4. L'area A cercata è la somma delle due aree cioè 2 volte A1 quindi

A = 16√2/3

y=x^2-4x+4

y= -x^2 + 4x

-x^2 + 4x = x^2 -4x +4

2x^2 - 8x + 4=0

x^2 - 4x +2=0

x1 = 2 - sqrt2

x2= 2 + sqrt 2

sono i punti di intersezione tra le 2 parabole

Allora devi fare : ∫ da x1 a x2 (- x^2 + 4x) dx + ∫ da x2 a x1 (x^2 - 4x + 4) dx

Dunque abbiamo :

(5*2^(5/2))/2 - (2^(5/2))/3= 26sqrt2/3 che è circa 12

{y = - x^2 + 4·x

{y = x^2 - 4·x + 4

Risolvi il sistema ed ottieni:

[x = √2 + 2 ∧ y = 2, x = 2 - √2 ∧ y = 2]

A questo punto con gli integrali : determini la funzione integranda per differenza:

- 2·x^2 + 8·x - 4

che integrata fra i due valori di x: 16·√2/3

Ma tu non hai chiesto questo!

Se non vuoi ricorrere agli integrali, devi vedere graficamente come è la situazione: stesse ordinate, l'ovale fra le due funzioni costituisce il doppio di un'area che sai calcolare, facendo riferimento ad una parabola contenuta in un triangolo di base pari alla differenza delle due ascisse ottenute.

Comunque adesso devo uscire. Se ho tempo e voglia, vedrò di rispondere accuratamente alla domanda che hai posto.

P.S. Puoi anche considerare la figura seguente: l'ovale è la regione di spazio compresa fra 2 parabole. Evidenzia il triangolo ABC che ha base (√2 + 2) - (2 - √2) = 2·√2

Se fai due calcoli, l'altezza del triangolo è:4. Per una nota proprietà l'area del semiovale (chiamiamolo così!) è 2/3 di quella del triangolo. Quindi l'area dell'ovale è:

2·(2/3·2·√2·4/2) = 16·√2/3 calcolabile con integrali.

Mi sembra però che così sia più complesso......

Dovresti tracciare la retta passante per i loro punti di intersezione e ricondurti all'area di due segmenti parabolici. E ne prenderai la somma.

Come ti ho appena risposto al link
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/21907/
l'area S del segmento parabolico obliquo dipende sostanto dall'apertura (a != 0) della parabola e dalle ascisse (xA < xB) degli estremi della corda
* S = (|a|/6)*(xB - xA)^3
quindi ricorrere agli integrali sarebbe come aprire noci con la mazzetta da un chilo.
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Le due parabole
* Γ1 ≡ y = - x^2 + 4*x
* Γ2 ≡ y = x^2 - 4*x + 4
hanno aperture unitarie opposte, quindi
* S1 + S2 = (1/3)*(xB - xA)^3
Il sistema dei punti comuni trova le intersezioni (A, B)
* (y = - x^2 + 4*x) & (y = x^2 - 4*x + 4) ≡ A(2 - √2, 2) oppure B(2 + √2, 2)
da cui
* xB - xA = 2 + √2 - (2 - √2) = 2*√2
* S1 + S2 = (1/3)*(2*√2)^3 = (16/3)*√2 ~= 7.54
MA C'E' DI MEGLIO
Le due parabole sono ad asse verticale e la corda AB è orizzontale (y = 2), quindi l'area richiesta è la somma di due segmenti parabolici RETTI quindi la si calcola con la formuletta di Archimede (quattro terzi del triangolo inscritto di massima altezza, disse Lui, cioè due terzi del rettangolo circoscritto) che dà
* S1 + S2 = (2/3)*(2*√2)*(|yV1 - yV2|)
che però non sto a ricalcolare.