Realtà e Modelli, Integrali.

Problema:

Determina la primitiva della funzione $y=3x²+3x$ tale che la tangente nel suo punto di flesso passa per il punto di coordinate $(0,1)$.

Soluzione:

L'insieme delle primitive della funzione $f(x)$ data è $F(x)=\int 3x²+3xdx=x³+\frac{3x²}{2}+c$. 

Dato che il quesito richiede una particolare condizione di tangenza  per una retta $t$, si deve individuare innanzitutto il punto di flesso di $F(x)$, ponendo la derivata seconda, in questo caso coincidente con la derivata prima di $f(x)$, pari a $0$.

$f'(x)=6x+3=0 \rightarrow x=-\frac{1}{2}$

Individuato il punto di tangenza è dunque necessario trovare la retta passante per quel punto e tangente a quel punto utilizzando come coefficiente angolare il valore della derivata prima di $F(x)$ nel punto trovato.

$t: y-F(\frac{-1}{2})=f(\frac{-1}{2})(x+\frac{1}{2}) \rightarrow y-(\frac{-1}{2}+c)=(\frac{-3}{4})(x+\frac{1}{2})$

Imponendo il passaggio per il punto $(0,1)$ è possibile ricavare il valore di $c$:

$y+\frac{1}{2}-c=-\frac{3}{4}(x+\frac{1}{2}) \rightarrow c=\frac{15}{8}$

Si ha dunque: $F(x)=x³+\frac{3x}{2}+\frac{15}{8}$

Rivedi i conti.