Realtà e Modelli, Integrali.

a.  $f(x) = \frac {2ln x}{x} $

Calcoliamo le primitive. Integrando per sostituzione $ t = ln x \; ⇒ \; dt = \frac{1}{x} dx$

$ 2\int \frac{lnx}{x} \, dx = 2 \int t dt = t^2+c = ln^2 x + c $ quindi le primitive sono

$ F(x) = ln^2 x +c $     

determiniamo quella che passa per P(e,0)

$ F(e) = 0 \; ⇒ \;ln^2(e) + c = 0 \; ⇒ \; c = -1 $

La primitiva cercata è così

$F(x) = ln^2 x - 1 $

b.

b.1 Punti stazionari. f(x) = 0  \; ⇒ \; ln x = 0 \; ⇒ \; x = 1$

b.2 Derivata seconda $f^{(2)}(x) = \frac{2(1-ln x)}{x^2}$ 

b.3 x=1 è un punto di minimo visto che la derivata seconda nel punto è positiva.

b.4 flessi. cioè $ f^{(2)}(x) = 0 \; ⇒ \; \frac{2(1-ln x)}{x^2}=0 \; ⇒ \; x = e $

b.5 grafico. 

 c.   Teorema di Rolle in [a, e]

F(e) = 0 per applicare il teorema di Rolle è necessario che F(a) = 0 quindi

$ F(a) = 0 \; ⇒ \; ln^2(a) -1 = 0 \; ⇒ \; ln a = \pm 1 \; ⇒ \; a = \frac{1}{e} \, \lor \; a = e $  quindi nell'intervallo [1/e, e] è applicabile Rolle.

d. Retta tangente nel punto di flesso x = e

• coefficiente angolare. $m = f(e) = \frac {2}{e}$

La retta tangente in x = e è del tipo $y =\frac {2}{e} x + q$

Determiniamo q sapendo che la retta passa per (e,0), cioè

$ 0 = \frac {2}{e} e + q  \; ⇒ \; q = -2$

La retta tangente ha equazione

$y =\frac {2}{e} x - 2$