Realtà e Modelli, Integrali.

f'(x) = - 2·x/(x^2 + 3)^2

F(x)=∫(- 2·x/(x^2 + 3)^2)dx

y = 1/(x^2 + 3) + c

passa per : [1, 1/4]

1/4 = 1/(1^2 + 3) + c

1/4 = c + 1/4---> c = 0

y = 1/(x^2 + 3)---> f'(x)=- 2·x/(x^2 + 3)^2

f''(x)=0

6·(x^2 - 1)/(x^2 + 3)^3 = 0

x = -1 ∨ x = 1

y = 1/(x^2 + 3) funzione pari

y = 1/((-1)^2 + 3)---> y = 1/4

[-1, 1/4] e [1, 1/4] punti di flesso

[0,1/3] massimo assoluto e relativo

a.  

$ f'(x) = -\frac{2x}{(x^2+3)^2} \, dx $

f(x) è una primitiva; integrando per sostituzione $ t = x^2+3 \; ⇒ \; dt = 2x\,dx$

$f(x) = \int -\frac{2x}{(x^2+3)^2} \, dx = \int -\frac{1}{t^2} dt = \frac{1}{t} + c = \frac{1}{x^2+3} + c $

Determiniamo la primitiva (unica) che passa per P(1, 1/4)

$ f(1) = \frac{1}{4} $

$ \frac{1}{4} + c = \frac{1}{4}  \; ⇒ \; c = 0 $

La primitiva cercata è quindi

$ f(x) = \frac{1}{x^2+3}$

b.  

Studio di funzione per f(x)

• Dominio = ℝ. f(x) è ivi continua e derivabile
• f(x) è una funzione pari
• f(x) è > 0 in tutto il suo dominio
• $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 0.$ Asintoto orizzontale di equazione y = 0.
• Punti stazionari. f'(x) = 0. Ne esiste uno solo nel punto x = 0.
• f(x) è positiva, f(x) → 0 per x → ±∞, f(x) continua questo implica che per x = 0 si ha un massimo relativo/assoluto.
• per i flessi occorre determinare la derivata seconda. $f^{(2)} = \frac{6(x^2-1)}{(x^2+3)^2}$ per i flessi devo imporre che la derivata seconda sia nulla, cioè x = ≠ 1.
• grafico f(x)

c.

Determiniamo i punti di intersezione f(x) e la retta y(x) = k

$ \left\{\begin{aligned} y(x) &= k \\ y(x) &= \frac {1}{x^2+3} \end{aligned} \right. $ 
$ k(x^2+3)=1$

$ x = \pm \sqrt{\frac{1}{k}-3} $     Questi sono i due punti intersezione funzione/retta

L' area A del rettangolo sarà

$ A = k \cdot 2\sqrt{\frac{1}{k}-3} = 2\sqrt{k-3k^2}$

L'area sarà massima quando il radicando sarà massimo cioè 

$ max \, A \; = \; max(k-3k^2) \; ⇒ \; k\, =\, \frac{1}{6}$

nota: quest'ultima è una parabola concava, il suo massimo coincide con le coordinate del vertice.