Dato il sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}^5$
$$
A=\langle(0,1,1,0,1),(0,-1,2,0,2)\rangle
$$
si determinino una sua rappresentazione cartesiana ed il suo complemento ortogonale.
Anche in tal caso allego esercizio risolto e traccia.
Dato il sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}^5$
$$
A=\langle(0,1,1,0,1),(0,-1,2,0,2)\rangle
$$
si determinino una sua rappresentazione cartesiana ed il suo complemento ortogonale.
Anche in tal caso allego esercizio risolto e traccia.
491
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Livello 2
La rappresentazione cartesiana è corretta.
Per quanto riguarda il complemento ortogonale, c'è qualche errore di calcolo.
Abbiamo infatti:
$ (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) \cdot (0,1,1,0,1) = x_2+x_3+x_5$
$ (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) \cdot (0,-1,2,0,2) = -x_2+2x_3+2x_5$
Mettendo a sistema:
{$ x_2+x_3+x_5 = 0$
{$-x_2+2x_3+2x_5 = 0$
Quindi sommando membro a membro otteniamo:
$ 3x_3+3x_5 = 0$
da cui
$ x_3 = -x_5$
Dunque abbiamo:
{$ x_2+x_3+x_5 = 0$
{$ x_3 = -x_5$
Da cui sostituendo $x_3$
{$ x_2-x_5+x_5 = 0$
{$ x_3 = -x_5$
otteniamo:
{$ x_2 = 0$
{$ x_3 = -x_5$
E dunque il complemento ortogonale è il sottospazio di dimensione 3 del tipo:
$\{(u,0,-v,t,v) | u,v,t \in R\}$
Una base è ad esempio:
$\{(1,0,0,0,0), (0,0,-1,0,1), (0,0,0,1,0)\}$
Attenzione ad una cosa: il sottospazio ortogonale deve contenere comunque vettori di $R^5$, quindi devono avere 5 componenti.
Noemi
9874
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Livello 5