Considera le funzioni f (x) = 2xe-* e g(x) = e-*, il cui andamento è rappresentato in fi-gura, e il triangolo ABC i cui vertici sono il punto A in comune tra le due curve e i punti B e C che le due curve hanno in comune con la retta * = k, dove k ≥ 1 è un parametro reale.
Determina per quale valore di k l'area del triangolo ABC è massima.
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Livello 1
Cominciamo a cercare A
2x e^(-x) = e^(-x)
2x = 1
x = 1/2, y = e^(-1/2)
A = (1/2, e^(-1/2))
x = k
yB = 2k e^(-k) e yC = e^(-k)
k in [1, +oo[
AB = (k - 1/2)
BC = 2k e^(-k) - e^(-k) = 2(k - 1/2) e^(-k)
S(k) = AB*BC/2 = (k - 1/2)^2 e^(-k)
la derivata é 2(k - 1/2) e^(-k) - (k - 1/2)^2 * e^(-k) =
= (k - 1/2) e^(-k) * [2 - k + 1/2 ] >= 0
5/2 - k >= 0
k <= 5/2
per k = 5/2 si ha un massimo relativo
per k = 1, 1/4 e^(-1) < 5/2
e lim_k->+oo S(k) = 0
e quindi é pure assoluto
Note
https://www.desmos.com/calculator/dtiqpnuwjs
Smax = 2*2^2 *e^(-5/2) = 0.6567 unità quadrate
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Livello 7
Per tua futura comodità ti comunico un po' di cose che forse possono esserti utili.
1) Nella prima fila di tasti, a fianco al BackSpace (⇐), c'è l'operatore di esponenziazione (^ caret) che può risparmiarti l'orrore dell'asterisco al posto della x ("Considera le funzioni f(x) = 2*x*e^(- x) e g(x) = e^(- x), ...").
2) Puoi risparmiarti benissimo gli accapo di fine riga (... rappresentato in fi-gura, ...) nell'editor TUO perché al browser MIO non gliene può fregare di meno: gli accapo da mostrarmi li decide lui; tu dovresti limitarti a mettere i soli accapo di fine paragrafo.
3) Per le foto da allegare vedi i suggerimenti al link http://www.sosmatematica.it/forum/postid/99968/
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Esercizio 3
* k ∈ R
* k >= 1
* f(x) = y = 2*x*e^(- x)
* g(x) = y = e^(- x)
* (y = 2*x*e^(- x)) & (y = e^(- x)) ≡ A(1/2, 1/√e)
* (x = k) & (y = 2*x*e^(- x)) & (k >= 1) ≡ B(k, 2*k/e^k)
* (x = k) & (y = e^(- x)) & (k >= 1) ≡ C(k, 1/e^k)
* Δx = k - 1/2
* Δy = 2*k/e^k - 1/e^k = (2*k - 1)/e^k
* S(ABC) = Δx*Δy/2 = (k - 1/2)*(2*k - 1)/(2*e^k) = (2*k - 1)^2/(4*e^k)
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Date
* s(k) = y = (2*k - 1)^2/(4*e^k)
* s'(k) = - (2*k - 1)*(2*k - 5)/(4*e^k)
* s''(k) = (4*k^2 - 20*k + 17)/(4*e^k) = (4*(k - 5)*k + 17)/(4*e^k)
la condizione di massimo è
* (s'(k) = 0) & (s''(k) < 0) ≡
≡ ((k = 1/2) oppure (k = 5/2)) & ((4*(k - 5)*k + 17)/(4*e^k) < 0) ≡
≡ ((k = 1/2) oppure (k = 5/2)) & ((5 - 2*√2)/2 ~= 1.1 < k < (5 + 2*√2)/2 ~= 3.9) ≡
≡ k = 5/2
e il massimo corrispondente è
* s(5/2) = 4/e^(5/2) ~= 0.328
http://www.wolframalpha.com/input?i=%282*k-1%29%5E2%2F%284*e%5Ek%29where++k%3D5%2F2
57382
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Genius I
