Sezionando la superficie $z=\frac{3 x^{2}-6 y-2 x-1}{y^{2}-3 y-x}$ con il piano $z=k$, al variare di $k$ si ottengono le corrispondenti linee di livello. Quale delle seguenti proposizioni è falsa?
A) Per $k=-3$ la linea di livello è una circonferenza.
B) Per $k=0$ la linea di livello è una parabola.
C) Per $k=2$ la linea di livello è un'iperbole.
D) Per nessun valore di $k$ la linea di livello può essere una curva passante per $O(0 ; 0)$.
E) Per $k=3$ la linea di livello è una circonferenza.
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Livello 0
Uso "Γ" per le curve di livello e "γ" per le altre.
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La funzione z è indefinita sulla parabola
* γ1 ≡ x = (y - 3)*y
quindi è lecito scrivere, in congiunzione con "x != (y - 3)*y", la k-ma linea di livello come
* Γ(k) ≡ k*(y^2 - 3*y - x) = 3*x^2 - 6*y - 2*x - 1
da cui si vede la verità di B
* Γ(0) ≡ y = (3*x^2 - 2*x - 1)/6
Poi, sottraendo membro a membro il primo membro, si ha la forma normale canonica
* Γ(k) ≡ 3*(x^2 + ((k - 2)/3)*x) - k*(y^2 - 3*((k - 2)/k)*y) - 1 = 0
da cui si vede la verità di D e, per completamento di quadrati, si ricava la forma normale standard
* Γ(k != 0) ≡ 3*((x + (k - 2)/6)^2 - ((k - 2)/6)^2) - k*((y - (3/2)*((k - 2)/k))^2 - ((3/2)*((k - 2)/k))^2) - 1 = 0 ≡
≡ 3*(x + (k - 2)/6)^2 - k*(y - (3/2)*((k - 2)/k))^2 = (k^3 - 31*k^2 + 124*k - 108)/(12*k) ≡
≡ (x + (k - 2)/6)^2/(36*k/(k^3 - 31*k^2 + 124*k - 108)) + (y - (3/2)*((k - 2)/k))^2/(- 12*k^2/(k^3 - 31*k^2 + 124*k - 108)) = 1
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Da quest'ultima forma si ricavano le seguenti notizie sulle curve Γ(k), con
* (k != 0) & (x != (y - 3)*y)
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1) sono coniche a centro con assi paralleli a quelli coordinati.
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2) i centri C(- (k - 2)/6, (3/2)*(k - 2)/k) appartengono all'iperbole
* γ2 ≡ 6*x*y - 9*x - 2*y = 0
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3) i semiassi sono
* (a, b) = (√(36*k/(k^3 - 31*k^2 + 124*k - 108)), √(- 12*k^2/(k^3 - 31*k^2 + 124*k - 108)))
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4a) rappresentano iperboli se i termini variabili sono discordi
* (36*k/(k^3 - 31*k^2 + 124*k - 108))*(- 12*k^2/(k^3 - 31*k^2 + 124*k - 108)) < 0 ≡
≡ - (432*k^3)/(k^3 - 31*k^2 + 124*k - 108)^2 < 0
con la limitazione su k si ha
* (k^3/(k^3 - 31*k^2 + 124*k - 108)^2 > 0) & (k != 0) ≡
≡ (k > 0) & (k non in ~{1.2, 3.3, 26.5}) (gli zeri del denominatore)
da cui si vede la verità di C
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4b) rappresentano ellissi se i termini variabili sono concordi (come sopra)
* (k^3/(k^3 - 31*k^2 + 124*k - 108)^2 < 0) & (k != 0) ≡
≡ k < 0
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5) rappresentano circonferenze se sono ellissi con semiassi eguali
* ((36*k/(k^3 - 31*k^2 + 124*k - 108)) = (- 12*k^2/(k^3 - 31*k^2 + 124*k - 108))) & (k < 0) ≡
≡ (k*(k + 3)/(k^3 - 31*k^2 + 124*k - 108) = 0) & (k < 0) ≡
≡ k = - 3
da cui si vedono la verità di A e la falsità di E.
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Genius I
Ciao e benvenuto.
L'ultima proposizione è falsa in quanto portandola alla forma intera:
3 = (3·x^2 - 6·y - 2·x - 1)/(y^2 - 3·y - x)
si ottiene:
3·(y^2 - 3·y - x) = 3·x^2 - 6·y - 2·x - 1
3·x^2 - 3·y^2 + x + 3·y - 1 = 0
Non rappresenta la circonferenza mancando del requisito che i pesi sulla x^2 non sono gli stessi (uno è opposto dell'altro)
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Genius II
