Una carica $Q$ e' distribuita in modo uniforme in una sfera cava di raggio interno $a$ e raggio esterno $b$. Calcolare la densita' di carica di volume $\rho_0$. Calcolare il campo elettrico in tutto lo spazio. Una carica puntiforme $q=-Q / 2$ e' posta al centro della sfera cava. Calcolare la differenza di potenziale tra i punti a distanza $a$ e $b$ dal centro.
$$
\left(Q=310^{-9} \mathrm{C}, a=4 \mathrm{~cm}, b=8 \mathrm{~cm}\right)
$$
488
punti
Livello 2
La densità di carica volumica si calcola come
\[\rho_0 = \frac{Q}{V_{i}} \mid V_{i} = \frac{4}{3}\pi b^2 - \frac{4}{3}\pi a^2 = \frac{4}{3}\pi(b^2 - a^2)\,.\]
Per la Legge di Gauss, considerando $r < a\,$:
\[E = \oint \mathbf{E} \; dr \implies E = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}\,.\]
Per $a \leq r \leq b\,$:
\[Q_r = \rho_0 \left(\frac{4}{3}\pi r^3 - \frac{4}{3}\pi a^3\right) = \rho_0\frac{4}{3}\pi (r^3 - a^3)\]
\[Q_i = q + Q_r = q + \rho_0\frac{4}{3}\pi (r^3 - a^3) \implies E = \oint \mathbf{E} \; dr \implies\]
\[E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q_i}{\varepsilon_0} = \frac{q + \rho_0\frac{4}{3}\pi (r^3 - a^3)}{4\pi r^2 \varepsilon_0}\,.\]
Per $r > b\,$:
\[Q_i = q + Q \implies \oint \mathbf{E} \; dr \implies E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q_i}{\varepsilon_0} = \frac{q + Q}{\varepsilon_0} \implies\]
\[E = \frac{q + Q}{4\pi r^2 \varepsilon_0}\,.\]
La differenza di potenziale tra due punti è data da
\[V = - \int_{a}^{b} \mathbf{E} \; dr\,.\]
3531
punti
Livello 5
@enrico_bufacchi Grazie mille!
