[Risolto] Quesito di maturita

La relazione tra funzione f(x) e la sua derivata f'(x) ricorda il comportamento della radice. Adattandola al grafico si ottiene

$f(x) = \sqrt{2(x+2)}$

infatti

$f'(x) = \frac {1}{\sqrt{2(x+2)}}$

ricaviamo così

$f^{(2)}(x) = \frac {-1}{2\sqrt{2(x+2)^3}}$

quindi f(x) corrisponde al grafico "a", f'(x) corrisponde al grafico "b" e infine f''(x) al grafico "c".

.

Per determinare le coordinate del punto P risolviamo il sistema delle due equazioni, associate ai due grafici "a" e "b", nelle incognite x, y

$\left\{\begin{aligned} y &=\sqrt{2(x+2)} \\ y &=\frac {1}{\sqrt{2(x+2)}} \end{aligned}\right.$

La soluzione risulta essere $x=\frac{-3}{2}, y = 1\, \implies \, P(\frac{-3}{2}, 1)$

.

• Il coefficiente angolare $m_1$ della retta tangente in P di f(x) non è altro che il valore della derivata prima calcolata in $x_p$.

$m_1 = f'(-\frac{3}{2}) = 1$ 

• Il coefficiente angolare $m_2$ della retta tangente in P di f'(x) non è altro che il valore della derivata seconda calcolata in $x_p$.

$m_2 = f^{(2)}(-\frac{3}{2}) = -1$ 

Nota. $f^{(2)}(x)$ indica la derivata seconda calcolata nel punto x.

f(x) ha per grafico la semiparabola
a) f(x) = y = √(a*x), con a > 0
e si hanno
b) f'(x) = dy/dx = a/(2*√(a*x))
c) f''(x) = - √(a*x)/(4*x^2)
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L'intersezione fra a e b
* f(x) & f'(x) ≡ (y = √(a*x)) & (y = a/(2*√(a*x))) & (a > 0) ≡ P(1/2, √(a/2))
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Il vincolo
* f'(x) = 1/f(x) ≡ (a/(2*√(a*x)) = 1/√(a*x)) & (a > 0) ≡ a = 2
dà, nel punto P,
a) f(1/2) = y = √(2*1/2) = 1, ordinata di P
b) f'(1/2) = 2/(2*√(2*1/2)) = 1, pendenza in P del grafico a
c) f''(1/2) = - √(2*1/2)/(2*(1/2)^2) = - 2, pendenza in P del grafico b

@diego_guerini

Posto che( a) rappresenti f(x) , (b) f'(x) ed (c) f"(x).

f(x) e f'(x) si incontrano nel punto P=(xo,yo)

yo=f(xo) && yo =f'(xo)

f(xo)=f'(xo)  sapendo che f'(xo) =1/f(xo) si ottiene

f²(xo)= 1 -> f(xo) =± 1. Dal grafico P si trova nel II quandrante , quindi f(xo) = +1=yo

Con f" derivata seconda e f² equivalente a f(x) al quadrato.

Il coefficiente angolare di f in xo è rappresentato da f'(xo) che,  sempre da sopra , risulta +1.

f"(x)=d(f'(x)) = -f'(x)/f²(x)

Calcolato in xo restituisce il coeff angolare di f' in xo

f"(xo) =-f'(xo)/f²(xo) = -1