Calcolare il campo elettrostatico generato in tutto lo spazio da una sfera di raggio $\mathrm{R}$ con densità di carica volumetrica $\rho(r)=\mathrm{A} r^2$.
Calcolare il campo elettrostatico generato in tutto lo spazio da una sfera di raggio $\mathrm{R}$ con densità di carica volumetrica $\rho(r)=\mathrm{A} r^2$.
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Livello 2
\[Q = \int_{V} \rho (r) \:dV = \int_{0}^{R} Ar^2 \cdot 4\pi r^2 \:dr = 4\pi A \int_{0}^{R} r^4 \: dr = \frac{4\pi A R^5}{5}\,.\]
Il campo elettrico dentro la sfera, tale che $r \leq R\,,$ si calcola attraverso la Legge di Gauss, considerando una superficie Gaussiana di raggio $r$ nella sfera. La carica racchiusa da tale superficie è data da:
\[Q_{i} = \int_{0}^{r} \rho(r')4\pi r'^2 \: dr' = \frac{4\pi A r^5}{5}\,.\]
Dalla Legge di Gauss
\[\oint E \cdot dA = \frac{Q_{i}}{\varepsilon_0} \implies E \cdot 4\pi r^2 = \frac{\frac{4\pi r^5 A}{5}}{\varepsilon_0} \implies\]
\[E = \frac{Ar^3}{5\varepsilon_0}\,.\]
Il campo elettrico fuori la sfera, tale che $r > R\,,$ si calcola come
\[E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2} = \frac{AR^5}{5\varepsilon_0 r^2}\,.\]
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Livello 5
@enrico_bufacchi Non ho capito perchè nell'integrazione per il calcolo della carica Q (primo passaggio) come dV ha utilizzato l'area della sfera e non il volume della sfera visto che si parla di densità volumetrica
Non mi è chiaro inoltre perchè tendiamo a fare la differenza tra il calcolo del campo all'interno della sfera e poi quello all'esterno, quindi valutando r differenti.
Ciao @Lau10,
per quanto concerne la prima richiesta, ho trasformato in coordinate sferiche, tale che
\[dV = 4\pi r^2 \:dr\,.\]
Per la seconda richiesta, tale differenza si basa sulla Legge di Gauss: il campo elettrico dipende dalla distribuzione di carica all'interno del volume racchiuso dalla superficie Gaussiana. All'interno della sfera, la carica racchiusa varia con $r$ (dato che la densità di carica non è uniforme), mentre all'esterno della sfera l'intera carica presenta una trasformazione topologica puntiforme.
https://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%27s_law
@enrico_bufacchi Quindi la densità di carica volumetrica espressa dal testo dell'esercizio come Ar^2 non può essere considerata costante?
Lo vedi tu stesso dalla relazione matematico-fisica del testo, ovvero:
\[\rho \propto r\,.\]