Nel sistema di riferimento cartesiano OXY la retta r è definita dal seguente sistema di equazioni parametriche r:{x = 2t + 2; y = t − 1; z = t + 1 .
Determina il punto P che appartiene alla retta r e che si trova alla distanza minima dall’origine del sistema di riferimento. Ricava l’equazione del piano α passante per P e perpendicolare a r
La distanza d(P) di un punto P dall'origine è il modulo del suo raggio vettore: la diagonale di un parallelepipedo retto che ha le coordinate di P come spigoli. Per il cursore R della retta r * R(2*t + 2, t − 1, t + 1) si ha * d(R) = √(2*(3*t^2 + 4*t + 3)) minima nel vertice della parabola * y = 3*t^2 + 4*t + 3 ≡ y = 3*(t + 2/3)^2 + 5/3 cioè per t = - 2/3; quindi il punto che si trova alla distanza minima è * P(2/3, - 5/3, 1/3) --------------- r ha coefficienti direttori (2, - 1, 1) quindi il fascio dei suoi piani ortogonali ha per equazione l'eguaglianza fra il parametro k del fascio e il prodotto scalare fra il vettore dei direttori e quello delle variabili * α(k) ≡ (2, - 1, 1).(x, y, z) = k dove k si determina dal vincolo d'appartenenza di P * (2, - 1, 1).(2/3, - 5/3, 1/3) = k ≡ k = 10/3 da cui * α(10/3) ≡ (2, - 1, 1).(x, y, z) = 10/3 ≡ ≡ 2*x - y + z = 10/3