Considera le funzioni $f_k(x)=k x e^{-k x^2}$ e $g_k(x)=k\left(x-x^3\right)$. Dimostra che per entrambe un punto di flesso è indipendente dal valore di $k \neq 0$ e che i grafici di $f_k(x)$ e $g_k(x)$ si intersecano in tale punto di flesso.
Considera le funzioni $f_k(x)=k x e^{-k x^2}$ e $g_k(x)=k\left(x-x^3\right)$. Dimostra che per entrambe un punto di flesso è indipendente dal valore di $k \neq 0$ e che i grafici di $f_k(x)$ e $g_k(x)$ si intersecano in tale punto di flesso.
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Livello 0
\[f_{k}^{'}(x) = \frac{d}{dx}\left(kxe^{-kx^2}\right) = ke^{-kx^2}\left(1 - 2kx^2\right)\,,\]
calcolato tramite la Regola di derivazione di Leibniz. La derivata seconda si calcola come
\[f_{k}^{''}(x) = \frac{d^2}{dx^2}ke^{-kx^2}\left(1 - 2kx^2\right) = ke^{-kx^2}x\left(-6k + 4k^2x^2\right)\]
\[f_{k}^{''}(x) = 0 \iff ke^{-kx^2}x\left(-6k + 4k^2x^2\right) = 0 \iff x = 0 \lor x = \pm \sqrt{\frac{3}{2k}}\,.\]
Analogamente per la seconda funzione
\[g_{k}^{'}(x) = k\frac{d}{dx}(x - x^3) = k(1 - 3x^2)\]
\[g_{k}^{''}(x) = k\frac{d}{dx}(1 - 3x^2) = -6kx\]
\[g_{k}^{''}(x) = 0 \iff x = 0\]
\[f_{k}(0) = g_{k}(0) = 0\,.\]
Ergo, le funzioni si intersecano nel punto di flesso $x = 0 \not\propto k \neq 0$.
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Livello 5
Considerazioni
Considerazione
* f(x, k) = k*x*e^(- k*x^2)
* f'(x, k) = k*(1 - 2*k*x^2)*e^(- k*x^2)
* f''(x, k) = 2*(k^2)*x*(2*k*x^2 - 3)*e^(- k*x^2)
Condizione di flesso
* f''(x, k) = 2*(k^2)*x*(2*k*x^2 - 3)*e^(- k*x^2) = 0 ≡
≡ (k^2)*x*(2*k*x^2 - 3) = 0 ≡
≡ (k = 0) oppure (x = 0) oppure (k != 0) & (x = - √(3/(2*k))) oppure (k != 0) & (x = √(3/(2*k)))
Considerazione
* g(x, k) = k*(x - x^3)
* g'(x, k) = k*(1 - 3*x^2)
* g''(x, k) = - 6*k*x
Condizione di flesso
* g''(x, k) = - 6*k*x = 0 ≡
≡ (k = 0) oppure (x = 0)
Dimostrazioni
a) "per entrambe un punto di flesso è indipendente dal valore di k != 0": x = 0.
b) "i due grafici intersecano in tale punto"
* f(0, k) = g(0, k) ≡
≡ k*0*e^(- k*0^2) = k*(0 - 0^3) ≡
≡ 0 = 0
QED
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Genius I