Quesito 1

La funzione in esame è:

y = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d

che ammette derivata :  y' = dy/dx = 3·a·x^2 + 2·b·x + c

tale derivata è definita da 3 parametri. Applichiamo le C.N. sulle derivate tramite sistema:

{3·a·2^2 + 2·b·2 + c = 0 

{3·a·4^2 + 2·b·4 + c = 0

Ricaviamo quindi a e b in termini del parametro c:

{12·a + 4·b + c = 0

{48·a + 8·b + c = 0

Risolvendo il sistema otteniamo:

[a = c/24 ∧ b = - 3·c/8]

Quindi la derivata prima si può scrivere come:

 y' = 3·(c/24)·x^2 + 2·(- 3·c/8)·x + c

y'= c·x^2/8 - 3·c·x/4 + c

e raccogliendo c:

y' = c·(x^2/8 - 3/4·x + 1)

Quindi la concavità della parabola che dipende dal primo coefficiente, dipende da c.

Quindi ora vediamo le C. S. che permetteranno di dire che la parabola rappresentativa di y' ha la concavità verso il basso e che quindi c <0

y'' = c·(x - 3)/4

Per x=2 si ha un min relativo per la funzione in esame: quindi deve essere soddisfatta la condizione:

c·(2 - 3)/4 > 0----> c < 0

Per x=4 si ha un max relativo per la funzione in esame : quindi deve essere soddisfatta la condizione:

c·(4 - 3)/4 < 0-----> c<0

Questo conferma che la derivata della cubica che è una parabola di 2° grado ha concavità verso il basso 

Ora, la derivata prima di y' , che è una parabola si annulla in corrispondenza del suo asse. Nel nostro caso si annulla per:

x = - (- 3/4)/(2·1/8) ---> x = 3

ascissa che verifica il fatto che sia l'ascissa del punto medio dei due punti estremanti:

x=(2+4)/2----> x=3

Nota #1. A*p(x) e p(x) hanno, a meno del fattore di scala A, il medesimo andamento: massimi, minimi e flessi alle stesse ascisse; è pertanto legittimo modificare l'enunciato iniziale in «Una funzione polinomiale p(x) monica di terzo grado ha un minimo in x = 2 e un massimo in x = 4.» senza perdita di generalità e quello finale in «Verifica le affermazioni precedenti per la funzione p(x) = x^3 - 9*x^2 + 24*x - 3»
Con
* p(x) = y = x^3 + p*x^2 + q*x + r
* p'(x) = 3*x^2 + 2*p*x + q
* p''(x) = 6*x + 2*p
La condizione di flesso è p''(x) = 0 ≡ xFlx = - p/3 → y = (2*p^3 - 9*p*q + 27*r)/27
Le condizioni di estremo relativo sono
* minimo: (p'(x) = 0) & (p''(x) > 0) ≡ (xMin = (- p + √(p^2 - 3*q))/3) & (q < p^2/3)
* massimo: (p'(x) = 0) & (p''(x) < 0) ≡ (xMax = (- p - √(p^2 - 3*q))/3) & (q < p^2/3)
da cui l'ascissa media
* (xMin + xMax)/2 = - p/3 = xFlx
e ciò soddisfà alla seconda richiesta di spiegazione (nonché a una parte della verifica).
Nota #2. Per soddisfare alla prima sono a corto di idee. Chiedo scusa.