M(p) = (1/n * Somma_k:1->n xk^p)^(1/p)
con xk positivi e p in R é crescente al variare di p ?
M(p) = (1/n * Somma_k:1->n xk^p)^(1/p)
con xk positivi e p in R é crescente al variare di p ?
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Livello 7
Ho provato a calcolare la derivata ma negli ultimi passaggi c'é qualcosa che non é chiaro.
Ho anche visto qualche video che usa la disuguaglianza di Jensen ma temo che valga solo per p>1.
@eidosm Scusa, se ho interpretato bene, la funzione è questa?
Se sì, allora questa funzione è una media generalizzata (o media di Hölder), e un risultato classico di teoria delle disuguaglianze implica che tale media è crescente rispetto a p. Credo che sia cruciale far ricorso alla disugualianza di Jensen per dimostrare l'assunto.
Grazie.Ho trovato un file PDF estratto da un testo di Gianni Gilardi in cui la dimostrazione viene effettuata per casi usando le proprietà delle funzioni convesse e le disuguaglianze di Jensen e di Young.
Quello che volevo fare io era calcolare la derivata di Mp rispetto a p e usare la disuguaglianza di Jensen per -ln x per stabilire il segno di un fattore ma i coefficienti mi sono venuti diversi e non ho potuto concludere.
Eventualmente potrei postarlo qui e mi tolgo il dubbio su quello che sbaglio.
Ciao EidosM, ieri sera io avevo provato a risolverlo così, calcolando la derivata di M(p) utilizzando una funzione ausiliaria. Spero di non aver sbagliato i calcoli.
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Livello 6
d/dp [ 1/p * ln S(p) ] =
= -1/p^2 ln S(p) + 1/p * S'(p)/S(p)
controlla questo passaggio alla fine della pg. 1