M(p) = (1/n * Somma_k:1->n xk^p)^(1/p)
con xk positivi e p in R é crescente al variare di p ?
M(p) = (1/n * Somma_k:1->n xk^p)^(1/p)
con xk positivi e p in R é crescente al variare di p ?
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Livello 7
Ho provato a calcolare la derivata ma negli ultimi passaggi c'é qualcosa che non é chiaro.
Ho anche visto qualche video che usa la disuguaglianza di Jensen ma temo che valga solo per p>1.
@eidosm Scusa, se ho interpretato bene, la funzione è questa?
Se sì, allora questa funzione è una media generalizzata (o media di Hölder), e un risultato classico di teoria delle disuguaglianze implica che tale media è crescente rispetto a p. Credo che sia cruciale far ricorso alla disugualianza di Jensen per dimostrare l'assunto.
Grazie.Ho trovato un file PDF estratto da un testo di Gianni Gilardi in cui la dimostrazione viene effettuata per casi usando le proprietà delle funzioni convesse e le disuguaglianze di Jensen e di Young.
Quello che volevo fare io era calcolare la derivata di Mp rispetto a p e usare la disuguaglianza di Jensen per -ln x per stabilire il segno di un fattore ma i coefficienti mi sono venuti diversi e non ho potuto concludere.
Eventualmente potrei postarlo qui e mi tolgo il dubbio su quello che sbaglio.
Ciao EidosM, ieri sera ho provato a modificare la mia prima soluzione errata, ho sempre utilizzato una funzione ausiliaria. Ho tuttavia qualche perplessità sul risultato finale, nel confrontare la mia soluzione con la disuguaglianza di Jensen, perché non sono riuscito ad eliminare un fattore moltiplicativo p. Fino a che è p>1 la disuguaglianza è applicabile e la derivata di M(p) è positiva. non saprei cosa dire per p< 1. Non saprei che altro dire. se non che è un quesito che esula dalle mie capacità!
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Livello 7
d/dp [ 1/p * ln S(p) ] =
= -1/p^2 ln S(p) + 1/p * S'(p)/S(p)
controlla questo passaggio alla fine della pg. 1
Hai ragione, questa sera riscriverò la dimostrazione con la derivata riscritta in maniera corretta e poi domani la carico. Ciao
Per completezza scrivo quello che e' uscito a me
Ho, più o meno, le tue stesse perplessità. Ciao EidoM