Qualcuno riuscirebbe a risolverlo, mi sto esercitando per una verifica sulle parabola ma non capisco come devo procedere

Il problema delle tangenti ad una conica (una parabola ad asse verticale in questo caso)può essere risolto in due modi:

a) utilizzando il metodo classico di ricerca intersezione parabola- fascio di rette(proprio in questo caso)

b) utilizzando le formule di sdoppiamento.

Tangenti passanti da A(1,1) tangenti alla parabola y=x^2-5x+19

{y = x^2 - 5·x + 19

{y - 11 = m·(x - 1)

procedo per sostituzione: y = m·x - m + 11

x^2 - 5·x + 19 - (m·x - m + 11) = 0

x^2 - x·(m + 5) + m + 8 = 0

impongo la condizione di tangenza: Δ = 0

(m + 5)^2 - 4·(m + 8) = 0----> m^2 + 6·m - 7 = 0

(m - 1)·(m + 7) = 0

quindi: m = -7 ∨ m = 1 da cui le due tangenti:

y = 18 - 7·x  e y = x + 10

Per B(2,13) applichiamo le formule di sdoppiamento

Verifichiamo che B appartenga alla parabola:

13 = 2^2 - 5·2 + 19----> 13 = 13 OK!!

(y + 13)/2 = 2·x - 5·(x + 2)/2 + 19

y + 13 = 28 - x----> y = 15 - x

Generalità
La conica Γ del piano Oxy
* Γ ≡ y = x^2 - 5*x + 19 ≡ y = (x - 5/2)^2 + 51/4 ≡ x^2 - 5*x - y + 19 = 0
induce, fra i punti e le rette del suo piano, una corrispondenza biunivoca detta polarità per la quale a ciascun punto del piano (polo) corrisponde una e una sola retta detta la sua polare; e, viceversa, a ciascuna retta corrisponde il suo unico polo.
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La retta polare p del polo P(u, v) rispetto a Γ si scrive sdoppiando rispetto a P la forma normale canonica di Γ
* p ≡ x*u - 5*(x + u)/2 - (y + v)/2 + 19 = 0 ≡ y = (2*u - 5)*x - 5*u - v + 38
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Si fa sistema fra la polare e la conica
* p & Γ ≡ (y = (2*u - 5)*x - 5*u - v + 38) & (y = (x - 5/2)^2 + 51/4) ≡
≡ (x = u ± √((u - 5/2)^2 + 51/4 - v)) & (y = 2 u^2 - v + 38 ± (2*u*(√((u - 5/2)^2 + 51/4 - v) - 5) - 5*√((u - 5/2)^2 + 51/4 - v)))
con i doppi segni concordi a determinare i punti Z1 e Z2 comuni a p e Γ.
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Si esamina il segno del discriminante
* Δ(u, v) = (u - 5/2)^2 + 51/4 - v
distinguendo i casi
1) Δ < 0: v > (u - 5/2)^2 + 51/4 → P è interno a Γ ≡ nessuna tangente per P
2) Δ = 0: v = (u - 5/2)^2 + 51/4 → P è su Γ ≡ p è tangente Γ in P
3) Δ > 0: v < (u - 5/2)^2 + 51/4 → P è esterno a Γ ≡ da P si tirano le tangenti congiungendolo con le intersezioni
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Esercizio 253
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a) P = A(1, 11)
* p ≡ y = (2*1 - 5)*x - 5*1 - 11 + 38 ≡ y = 22 - 3*x
* p & Γ ≡ Z1(- 1, 25) oppure Z2(3, 13)
* t1 ≡ AZ1 ≡ y = 18 - 7*x
* t2 ≡ AZ2 ≡ y - x = 10
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By-19%3Dx%5E2-5*x%2C%2822-3*x-y%29*%2818-7*x-y%29*%28y-x-10%29%3D0%5D
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b) P = B(2, 13)
* p ≡ y = (2*2 - 5)*x - 5*2 - 13 + 38 ≡ y = 15 - x
* p & Γ ≡ B(2, 13)
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By-19%3Dx%5E2-5*x%2Cy%3D15-x%5D