Notifiche
Cancella tutti

Qualcuno riuscirebbe a risolverlo, mi sto esercitando per una verifica sulle parabola ma non capisco come devo procedere

  

0

Trova le equazioni delle rette passanti per $A(1 ; 11)$ e tangenti alla párabola di equazione $y=x^2-5 x+19$ e l'equazione della tangente alla parabola nel suo punto $B(2 ; 13)$.
$$
[y=x+10 ; y=-7 x+18 ; y=-x+15]
$$

17069871005004336343870681602237
Autore
2 Risposte



1
image

Il problema delle tangenti ad una conica (una parabola ad asse verticale in questo caso)può essere risolto in due modi:

a) utilizzando il metodo classico di ricerca intersezione parabola- fascio di rette(proprio in questo caso)

b) utilizzando le formule di sdoppiamento.

Tangenti passanti da A(1,1) tangenti alla parabola y=x^2-5x+19

{y = x^2 - 5·x + 19

{y - 11 = m·(x - 1)

procedo per sostituzione: y = m·x - m + 11

x^2 - 5·x + 19 - (m·x - m + 11) = 0

x^2 - x·(m + 5) + m + 8 = 0

impongo la condizione di tangenza: Δ = 0

(m + 5)^2 - 4·(m + 8) = 0----> m^2 + 6·m - 7 = 0

(m - 1)·(m + 7) = 0

quindi: m = -7 ∨ m = 1 da cui le due tangenti:

y = 18 - 7·x  e y = x + 10

Per B(2,13) applichiamo le formule di sdoppiamento

Verifichiamo che B appartenga alla parabola:

13 = 2^2 - 5·2 + 19----> 13 = 13 OK!!

(y + 13)/2 = 2·x - 5·(x + 2)/2 + 19

y + 13 = 28 - x----> y = 15 - x

 

 

  

 



0

Generalità
La conica Γ del piano Oxy
* Γ ≡ y = x^2 - 5*x + 19 ≡ y = (x - 5/2)^2 + 51/4 ≡ x^2 - 5*x - y + 19 = 0
induce, fra i punti e le rette del suo piano, una corrispondenza biunivoca detta polarità per la quale a ciascun punto del piano (polo) corrisponde una e una sola retta detta la sua polare; e, viceversa, a ciascuna retta corrisponde il suo unico polo.
---------------
La retta polare p del polo P(u, v) rispetto a Γ si scrive sdoppiando rispetto a P la forma normale canonica di Γ
* p ≡ x*u - 5*(x + u)/2 - (y + v)/2 + 19 = 0 ≡ y = (2*u - 5)*x - 5*u - v + 38
---------------
Si fa sistema fra la polare e la conica
* p & Γ ≡ (y = (2*u - 5)*x - 5*u - v + 38) & (y = (x - 5/2)^2 + 51/4) ≡
≡ (x = u ± √((u - 5/2)^2 + 51/4 - v)) & (y = 2 u^2 - v + 38 ± (2*u*(√((u - 5/2)^2 + 51/4 - v) - 5) - 5*√((u - 5/2)^2 + 51/4 - v)))
con i doppi segni concordi a determinare i punti Z1 e Z2 comuni a p e Γ.
---------------
Si esamina il segno del discriminante
* Δ(u, v) = (u - 5/2)^2 + 51/4 - v
distinguendo i casi
1) Δ < 0: v > (u - 5/2)^2 + 51/4 → P è interno a Γ ≡ nessuna tangente per P
2) Δ = 0: v = (u - 5/2)^2 + 51/4 → P è su Γ ≡ p è tangente Γ in P
3) Δ > 0: v < (u - 5/2)^2 + 51/4 → P è esterno a Γ ≡ da P si tirano le tangenti congiungendolo con le intersezioni
-----------------------------
Esercizio 253
---------------
a) P = A(1, 11)
* p ≡ y = (2*1 - 5)*x - 5*1 - 11 + 38 ≡ y = 22 - 3*x
* p & Γ ≡ Z1(- 1, 25) oppure Z2(3, 13)
* t1 ≡ AZ1 ≡ y = 18 - 7*x
* t2 ≡ AZ2 ≡ y - x = 10
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By-19%3Dx%5E2-5*x%2C%2822-3*x-y%29*%2818-7*x-y%29*%28y-x-10%29%3D0%5D
---------------
b) P = B(2, 13)
* p ≡ y = (2*2 - 5)*x - 5*2 - 13 + 38 ≡ y = 15 - x
* p & Γ ≡ B(2, 13)
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By-19%3Dx%5E2-5*x%2Cy%3D15-x%5D



Risposta
SOS Matematica

4.6
SCARICA