qualcuno mi puoi aiutare?

Troviamo il piano passante per i tre punti sostituendo le coordinate nella generica equazione 

$ax+by+cz+d=0$

otteniamo il sistema:

{$at+d=0$

{$-2b+d=0$

{$\sqrt{23}c+d=0$

da cui:

{$a=\frac{-d}{t}$

{$b=\frac{d}{2}$

{$c=\frac{-d}{\sqrt{23}}$

Il piano ha dunque equazione:

$ \frac{-d}{t} x + \frac{d}{2}y +\frac{-d}{\sqrt{23}}z+d=0$

e semplificando la $d$:

$ -\frac{1}{t}x + \frac{1}{2}y- \frac{1}{\sqrt{23}}z+1=0$

Il vettore direttore del piano è dunque:

$ \vec{v}=(-\frac{1}{t}, \frac{1}{2}, - \frac{1}{\sqrt{23}})$

D'altra parte il piano YZ ha equazione $x=0$ e dunque vettore direttore:

$\vec{u}=(1,0,0)$

Per fare in modo che i due piani formino tra loro un angolo di $2/3\pi$, ci basta usare il prodotto scalare:

$ \vec{v}\cdot \vec{u} = |v||u|\cos \frac{2}{3}\pi$

Calcoliamo dunque il prodotto scalare:

$\vec{v}\cdot \vec{u} = (-\frac{1}{t}, \frac{1}{2}, - \frac{1}{\sqrt{23}}) \cdot (1,0,0) = \frac{1}{t}$

e calcoliamo il modulo dei due vettori:

$ |v|=\sqrt{(-\frac{1}{t})^2+(\frac{1}{2})^2+( - \frac{1}{\sqrt{23}})^2}= \sqrt{\frac{1}{t^2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{23}}$

$ |u|= \sqrt{1+0+0} = 1$

dunque otteniamo, sostituendo nel prodotto scalare:

$\frac{1}{t} = \sqrt{\frac{1}{t^2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{23}} \cdot 1 \cdot \cos\frac{2}{3}\pi$

calcolo il coseno:

$\frac{1}{t} = -\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{t^2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{23}}$

elevo tutto al quadrato:

$\frac{1}{t^2} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{t^2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{23}\right)$

e risolvendo l'equazione (ometto i passaggi), otteniamo come soluzione:

$ t = \pm \frac{2}{3} \sqrt{23}$

Noemi