In un triangolo $A B C$ conosci il late $A B=35 cm$, l'angolo $A \widehat{B C}=45^{\circ}$ e la mediana $A M=28 cm$. Calcola l'area e il perimetro del triangolo. $\quad\left[S \simeq 936,6 cm ^2 ; 2 p \simeq 167,3 cm ;\right.$ oppure: $\left.S \simeq 288,4 cm ^2 ; 2 p \simeq 83,1 cm \right]$
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Livello 1
Si risolve prima il triangolo piccolo, poi quello grande.
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Del triangolo ABM sono date le misure di tre elementi, di cui almeno una è una lunghezza; perciò lo si può risolvere usando il teorema dei seni.
Lunghezze: |AB| = m = 35; |AM| = b = 28; |BM| = a.
Angoli interni: α = BAM; β = ABM = 45°; μ = AMB = (180 - (α + β))°= (135° - α).
* a/sin(α) = b/sin(β) = m/sin(μ) ≡
≡ a/sin(α) = 28/sin(45°) = 35/sin(135° - α) ≡
≡ a/sin(α) = 28*√2 = 35/(cos(α)*sin(135°) - cos(135°)*sin(α)) ≡
≡ a/sin(α) = 28*√2 = 35*√2/(sin(α) + cos(α)) ≡
≡ a/sin(α) = 28 = 35/(sin(α) + cos(α)) ≡
≡ (a = (35 - 7*√7)/2) & (α = 2*arctg((4 - √7)/9))
oppure
≡ (a = (35 - 7*√7)/2) & (α = 2*arctg((4 + √7)/9))
dove "a" è la metà di |BC|, da cui
* (|BC| = (35 - 7*√7)) oppure (|AC| = (35 - 7*√7)).
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Del triangolo ABC si conoscono due lati e l'angolo compreso; il terzo lato, necessario e sufficiente per calcolare area e perimetro richiesti, si calcola col teorema di Carnot
Lunghezze: |BC| = a = a1 oppure a2; |AB| = c = 35; |AC| = b = terzo lato.
Angoli interni: α, γ = irrilevanti; β = ABC = 45°.
* b^2 = a^2 + c^2 - 2*a*c ≡
≡ b^2 = a^2 + 1225 - 70*a
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Per a = (35 - 7*√7)
* b^2 = (35 - 7*√7)^2 + 1225 - 70*(35 - 7*√7) = 343 → b = 7*√7
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Per a = (35 + 7*√7)
* b^2 = (35 + 7*√7)^2 + 1225 - 70*(35 + 7*√7) = 343 → b = 7*√7
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Del triangolo ABC ora si conoscono i tre lati, quant'è sufficiente per calcolare il perimetro 2*p e l'area S (con la formula di Erone: S = √(s*(s - a)*(s - b)*(s - c))).
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Per a = (35 - 7*√7)
* 2*p = a + b + c = (35 - 7*√7) + 7*√7 + 35 = 70
* S = 0, il triangolo degenera!
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Per a = (35 + 7*√7)
* 2*p = a + b + c = (35 + 7*√7) + 7*√7 + 35 = 14*(5 + √7)
* S = 0, il triangolo degenera!
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E ciò è bello e istruttivo (© Guareschi) perché mostra un esaltante accordo fra il risultato atteso e i calcoli che m'hanno condotto fin qui.
Voglio sperare che tu riveda i miei passaggi e ne corregga la minchiata occulta.
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Genius I
