[Risolto] Equazione della circonferenza

Ciao!

Dato che la circonferenza è tangente a due rette parallele, come sono $y = 1$ e $ y=4$, sappiamo che la distanza tra queste due rette corrisponderà al diametro:

$d = 4 - 1 = 3 $

da cui il raggio è $ r = \frac{d}{2} = \frac32 $

Allora l'equazione della circonferenza che stiamo cercando è del tipo:

$(x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2 = r^2 $

$(x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2 =\frac94 $

dato che il centro sta sulla retta $ x = 2y$, date $ C = (\alpha, \beta)$ le coordinate del centro, esse soddisferanno la seguente relazione:

$\alpha = 2 \beta$

possiamo calcolare la distanza tra il centro con la generica forma $C = (2 \beta, \beta)$ e una delle due rette tangenti e imporre che la loro distanza sia $\frac32$:

la distanza tra il centro della circonferenza e una retta ad essa tangente corrisponde al raggio.

Quindi applichiamo la distanza punto-retta con la retta tangente $y=1$, che riscriviamo in forma implicita come $y-1= 0 $

$d = \frac{| 2\beta \cdot 0 + \beta \cdot 1 - 1 |}{\sqrt{0^2+1^2}} = |\beta - 1| $

essa deve valere $\frac32$:

$ |\beta-1| = \frac32$

$\beta_1 = \frac32+1 = \frac52 $

$\beta_2 = -\frac32+1 = -\frac12 $

Quindi abbiamo trovato due valori di $\beta$ cioè due centri: esistono quindi due circonferenza che hanno centro sulla retta $x = 2y$ e distano $\frac32$ dalla retta $y = 1$, e corrispondono alle due circonferenze tangenti alla retta $y=1$ che si trovano, rispettivamente "sopra" la retta e "sotto" la retta stessa.

Noi però vogliamo che anche la distanza dall'altra retta tangente sia $\frac32$. 

Rifacciamo il procedimento ma con la retta $ y = 4$:

$d = \frac{| 2\beta \cdot 0 + \beta \cdot 1 - 4 |}{\sqrt{0^2+1^2}} = |\beta - 4| $

si ha: $ d= \frac32$ quindi

$\beta_1 = \frac32 +4 = \frac{11}{2} $

$\beta_2 = -\frac32+4 = \frac52$ 

Quindi il valore $\beta=\frac52$ lo ritroviamo in entrambi i casi quindi soddisfa entrambe le ipotesi di distanza dalle due rette tangenti.

Quindi sarà l'ordinata del centro!

A questo punto se $\beta = \frac52$ allora $\alpha = 2 \beta = 2 \cdot \frac52 = 5$

quindi il centro ha coordinate $C = (5, \frac52)$

quindi l'equazione della circonferenza che cerchiamo è

$(x-5)^2+(y-\frac52)^2 = \frac94$

Si può osservare che le due rette tangenti sono parallele (e orizzontali). quindi l'ordinata del centro deve essere la media delle due y delle due rette. Ne consegue che la y del centro è (4+1)/2 = 5/2. Dato poi che il centro deve stare sulla retta x-2y=0 si ricava immediatamente che la x del centro = 2*5/2 = 5. Pertanto C (5, 5/2). Il raggio non è altro che la differenza fra le y delle due rette divisa per 2, ovvero R=(4-1)/2 = 3/2. L'equazione cercata risulta pertanto: (x-5)^2 + (y-5/2)^2 = 9/4

Ciao,

Sia

$r: y=1$ è l'equazione di una retta parallela all'asse delle ordinate

$s: y=4$ è l'equazione di una retta parallela all'asse delle ordinate

Siccome sono due rette tangenti alla circonferenza, il diametro della circonferenza è pari alla distanza tra le due rette:

$d(r,s)=3$

Dunque il raggio vale:

$r= \frac{3}{2} $

Troviamo il punto di intersezione della retta $x-2y=0$ con la retta $y=1$:

$ \begin{cases}x-2y=0\\y=1\end{cases}\rightarrow\begin{cases}x-2=0\\y=1\end{cases}\rightarrow\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}\rightarrow A(2,1) $

Troviamo il punto di intersezione della retta $x-2y=0$ con la retta $y=4$:

$ \begin{cases}x-2y=0\\y=4\end{cases}\rightarrow\begin{cases}x-8=0\\y=4\end{cases}\rightarrow\begin{cases}x=8\\y=4\end{cases}\rightarrow B(8,4) $

Il centro della circonferenza è nel punto medio fra il punto A ed il punto B:

$x_C=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{2+8}{2}=\frac{10}{2}=5$

$y_C=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{1+4}{2}=\frac{5}{2}$

$ C(5, \frac{5}{2})$

Quindi l'equazione della circonferenza è:

$(x-x_C)^2 + (y-y_C)^2 = r^2$

$(x-5)^2 + (y-\frac{5}{2})^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2$

$x^2-10x+25+y^2-5y+\frac{25}{4}$= \frac{9}{4}$

$x^2+y^2-10x-5y+25+\frac{25}{4}-\frac{9}{4}=0 $

$x^2+y^2-10x-5y+\frac{100+25-9}{4}=0 $

$x^2+y^2-10x-5y+\frac{116}{4}=0 $

$x^2+y^2-10x-5y+29=0 $

saluti ?