Punto medio e baricentro nel piano cartesiano

I vertici del trapezio ABCD hanno le seguenti coordinate:
A(-2,1);
B(7,1);
C(2,7);
D(-2,7).

Calcoliamo la lunghezza dei lati del trapezio:
AB: i punti A e B hanno stessa ordinata per cui la lunghezza di AB sarà:
AB=|xA-xB| = |7-(-2)| = |9| = 9
CD: i punti C e D hanno stessa ordinata per cui la lunghezza di CD sarà:
CD=|xC-xD| = |2-(-2)| = |4| = 4
AD: i punti A e D hanno stessa ascissa per cui la lunghezza di AD sarà:
AD=|yA-yD| = |1-7| = |6| = 6

Per BC invece applichiamo la seguente formula:
BC=sqrt[(xC-xB)^2+(yC-yB)^2]
BC=sqrt[(2-7)^2+(7-1)^2]
BC=sqrt[(5)^2+(6)^2] = sqrt(25+36) = sqrt(61)

Ora possiamo calcolare il perimetro:
2p=AB+BC+CD+AD = 9+sqrt(61)+4+6 = 19+sqrt(61)

Calcoliamo l'area del trapezio:

Area = (B+b)*h/2 = (AB+CD)*AD/2 = (9+4)*6/2 = 13*3 = 39

Calcolo delle coordinate del punto medio di BC
M[(xB+xC)/2, (yB+yC)/2]
M[(7+2)/2, (1+7)/2]
M(9/2, 4) ==> M(4.5, 4)

Ora calcoliamo la lunghezza dei dule lati AM e DM e se questi risultano uguali il triangolo ADM è isoscele:

AM=sqrt[(xM-xA)^2+(yM-yA)^2]
AM=sqrt[(4.5-(-2))^2+(4-1)^2]
AM=sqrt[(6.5)^2+(3)^2] = sqrt(42.25+9) = sqrt(51.25) = 7.16 circa

DM=sqrt[(xM-xD)^2+(yM-yD)^2]
DM=sqrt[(4.5-(-2))^2+(4-7)^2]
DM=sqrt[(6.5)^2+(-3)^2] = sqrt(42.25+9) = sqrt(51.25) = 7.16 circa

Essendo AM = DM il triangolo ADM è isoscele!!!

* Abbiamo un trapezio ABCD.

* Le coordinate dei vertici sono: A(-2,0), B(7,0), C(7,7), D(-2,7).

* Ci viene chiesto di calcolare il perimetro e l'area del trapezio.

* Dobbiamo anche dimostrare che il triangolo ADM è isoscele, dove M è il punto medio di CB.

Soluzione:

* Calcolo del perimetro:

   * Il perimetro è la somma di tutti i lati.

   * Calcoliamo le lunghezze dei lati utilizzando il teorema di Pitagora (per i lati obliqui) e la distanza tra due punti (per i lati orizzontali):

     * AB = 9

     * BC = 7

     * CD = 9

     * DA = 7

   * Perimetro = AB + BC + CD + DA = 9 + 7 + 9 + 7 = 32

* Calcolo dell'area:

   * L'area di un trapezio si calcola con la formula: A = (b1 + b2) * h / 2

     * b1 e b2 sono le basi (AB e CD in questo caso)

     * h è l'altezza (che corrisponde alla distanza tra le due basi, ovvero 7)

   * Area = (9 + 9) * 7 / 2 = 63

* Dimostrazione che il triangolo ADM è isoscele:

   * Troviamo le coordinate di M, il punto medio di CB:

     * M ((7-2)/2, (7+0)/2) = (2.5, 3.5)

   * Calcoliamo le lunghezze dei lati AD, AM e DM utilizzando il teorema di Pitagora o la distanza tra due punti.

   * Verifichiamo se due di questi lati hanno la stessa lunghezza. Se sì, il triangolo è isoscele.

Calcoli dettagliati:

* AD: Abbiamo già calcolato che AD = 7.

* AM: Utilizzando le coordinate di A e M, troviamo AM = √[(2.5+2)² + (3.5-0)²] = √(20.25 + 12.25) = √32.5

* DM: Utilizzando le coordinate di D e M, troviamo DM = √[(2.5+2)² + (3.5-7)²] = √(20.25 + 12.25) = √32.5

Conclusioni:

* Il perimetro del trapezio è 32 unità.

* L'area del trapezio è 63 unità quadrate.

* Abbiamo dimostrato che AM = DM = √32.5, quindi il triangolo ADM è isoscele.

Risposta finale:

Il perimetro del trapezio è 32, l'area è 63 e il triangolo ADM è isoscele.