Considera la funzione $f(x)=\frac{a x^2+b}{x^2+1}$. Determina $a$ e $b$ in modo che abbia un asintoto orizzontale di equazione $y=2$ e il minimo assoluto della funzione sia uguale a -4 .
$$
[a=2, b=-4]
$$
Potete aiutarmi sull'es. 217 con i passaggi grazie.
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Livello 2
Asintoto orizzontale
lim_x->+- oo (ax^2 + b)/(x^2 + 1) =
= lim_x^2 ->+oo (a + b/x^2)/(1 + 1/x^2) =
= a/1 = a = 2
Il minimo assoluto - risulta
f(x) = (2x^2 + b)/(x^2 + 1)
f'(x) = [4x(x^2 + 1) - 2x(2x^2 + b)]/(x^2 + 1)^2 =
= [4x^3 + 4x - 4x^3 - 2bx]/(x^2 + 1)^2 =
= (4 - 2b)x /(x^2 + 1)^2
Posto quindi b =/= 2, altrimenti la derivata sarebbe 0,
il punto stazionario si trova in x = 0
ed il suo valore é f(0) = b.
Bisogna quindi risolvere il sistema
{ b = -4 & b < 2
che é verificato per b = -4
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Livello 7
