[Risolto] PUNTI singolari, discontinuita'

y = ABS(x^2 - 1)/(x^2 - x)

La presenza del modulo al numeratore comporta una funzione definita a tratti.

Quindi è opportuno liberare il modulo innanzitutto:

ABS(x^2 - 1) = x^2 - 1

se x^2 - 1 ≥ 0----> x ≤ -1 ∨ x ≥ 1

ABS(x^2 - 1) = 1 - x^2

se x^2 - 1 < 0-----> -1 < x < 1

Quindi, per 

x ≤ -1 ∨ x ≥ 1

y = (x^2 - 1)/(x^2 - x)-----> y = (x + 1)·(x - 1)/(x·(x - 1)) con x ≠ 1

che è possibile semplificare con una funzione omografica y = (x + 1)/x "bucata nel punto [1, 2]"

per

-1 < x < 1

y = (1 - x^2)/(x^2 - x)----> y = (x + 1)·(1 - x)/(x·(x - 1))

che è possibile semplificare nella funzione opposta a quella ottenuta precedentemente y = - (x + 1)/x

(in questo caso la condizione x ≠ 1 è implicita)

Per quanto detto:

y=

{(x + 1)/x  per x ≤ -1 ∨ x > 1

{- (x + 1)/x per -1 < x < 1

Il grafico che ne consegue è:

Quini 2 punti di discontinuità:

x=0 di 2^ specie: salto infinito

x=1 di 1^ specie : salto finito (limiti destro e sinistro finiti ma diversi fra loro: opposti)

$ f(x) = \frac {|x^2-1|}{x(x-1)}$

• Dominio $= ℝ \setminus \{0, 1\}$

La funzione f(x) è una funzione continua in tutto il suo dominio essendo composizione, prodotto, etc. di funzioni continue.

Gli eventuali punti di discontinuità sono da ricercare tra i punti isolati dove la funzione non è definita, nel nostro caso x = 0 e x = 1.

Premettiamo che per classificare il tipo di discontinuità sarà necessario studiare, tramite il limite, il comportamento della funzione nell'intorno del punto.

• x = 0

$ \displaystyle\lim_{x \to 0^-} f(x) = +\infty$

questo è sufficiente per affermare che la discontinuità è di 2° specie.

• x = 1

$ \displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = -2$

$ \displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x) = +2$

Si tratta di una discontinuità di 1° specie con un salto δ = 4.

I passaggi
A) Riscrivere.
* f(x) = y = |x^2 - 1|/(x^2 - x) =
= |(x + 1)*(x - 1)|/(x*(x - 1)) =
= (|x - 1|/(x - 1))*|x + 1|/x =
= sgn(x - 1)*|x + 1|/x
Fattorizzando numeratore e denominatore si vede un fattore comune; e il rapporto fra qualcosa e il suo valore assoluto è il suo segno. Il segno si aritmetizza intendendo il meno come "- 1" e il più come "+ 1"; se il qualcosa è zero, privo di segno, ci sono due scuole di pensiero: il matematico puro ci vede una discontinuità di prima specie (da - 1 a + 1), tutti gli altri ce ne vedono due (da - 1 a 0 e da 0 a + 1) e definiscono "sgn(0) = 0". In tale seconda scuola si aritmetizzano anche i valori di verità intendendo il Falso come "0" e il Vero come "1"; e così si definisce la funzione segno
* sgn(x) = (x > 0) - (x < 0)
B) Esaminare la forma e dedurne le implicazioni.
B1) x a denominatore vuol dire discontinuità di seconda specie in x = 0 (f(0) è indefinita)
B2) il fattore sgn(x - 1) vuol dire una o due discontinuità di prima specie in x = 1 (v. sub A)
B3) Non s'individuano altri punti di singolarità.
C) Dare anche, per sicurezza, un'occhiata da un differente punto di vista.
Vedi i paragrafi "Results" e "Number line" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=solve%7Cx%5E2-1%7C%2F%28x%5E2-x%29-sgn%28x-1%29*%7Cx--1%7C%2Fx%3D0+for+x+real