Punti singolari di funzioni

Problema:

Si individuino le singolarità della seguente funzione:

$f(x)=\frac{1}{\log_2 (1-\cos x)}$

Soluzione:

Prima di iniziare il quesito è sempre buona cosa individuare l'insieme d'esistenza della funzione, dato che la funzione è fratta è necessario porre il denominatore diverso da 0.

$\log_2 (1-\cos x) \neq 0$

$1- \cos x \neq 1, 1-\cos x >0$

$\cos x \neq 0, \cos x < 1$

$ x \neq \frac{π}{2}+ kπ, x \neq 2kπ, k \in \mathbb{Z}$

Riducendo il tutto nell'intervallo [0,2π] per comodità si ha: $x \neq \frac{π}{2}, x \neq \frac{3π}{2}, x \neq 0$.

Giunti a questo punto è necessario studiare limite destro e sinistro per ogni punto individuato.

$\lim_{ x \rightarrow \frac{π^+}{2}}f(x)= \lim_{x \rightarrow \frac{3π^+}{2}}f(x)=+∞$

$\lim_{x \rightarrow \frac{π^-}{2}}f(x)=\lim_{x \rightarrow \frac{3π^-}{2}}f(x)=+∞$

Poiché almeno uno dei due limiti è infinito, la singolarità nei punti studiati è di seconda specie. Estendendo l'intervallo di studio si ha che le singolarità di seconda specie si hanno per tutti gli $x=\frac{π}{2}+kπ, k \in \mathbb{Z}$

$\lim_{x \rightarrow 0^+}f(x)=0^-$

$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x)=0^-$

Poiché i limiti coincidono, ma f(x) non è definita nel punto dato, la singolarità è di tipo eliminabile. Si ha dunque che si hanno singolarità eliminabili per ogni $x=2kπ, k \in \mathbb{Z}$