Punti singolari di funzioni.

Deve essere:

SIN(x) - COS(x) ≠ 0 per cui x ≠ 5·pi/4 ∧ x ≠ pi/4

che generalizzando si scrive: x ≠ pi/4 + k·pi

D'altra parte, posto quest'ultima condizione, la funzione data è equivalente a scrivere:

(TAN(x) - 1)/(SIN(x) - COS(x)) = 1/COS(x)

(essendo: TAN(x) - 1 = (SIN(x) - COS(x))/COS(x) )

Quindi deduciamo che per la condizione sopra in grassetto, tali punti (con =) forniscono punti di discontinuità di 3^ specie (eliminabili modificando la definizione come illustrato sopra)

mentre per COS(x) ≠ 0----> x ≠ pi/2 + k·pi

quindi per x = pi/2 + k·pi

si hanno punti di discontinuità di 2^ specie: salto infinito

$ f(x) = \frac{tan x -1}{sinx - cosx} $

Funzione trascendente fratta, continua laddove definita. La presenza della tangente  e del denominatore implica che troveremo una successione di punti di discontinuità.

• Dominio
  • • tanx è definita in $ \mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2}+k\pi\}; \quad k \in \mathbb{Z}$
    • sinx - cosx = 0 per $ x = \frac{\pi}{4}+k\pi; \quad k \in \mathbb{Z}$

Dominio = $ \mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2}+k\pi  \; \lor \;\frac{\pi}{4}+k\pi \}; \quad k \in \mathbb{Z}$

• Punti di discontinuità.

• • • per $ x_i = \frac{\pi}{2}+k\pi; \displaystyle\lim_{x \to x_i^-} f(x) = +\infty$ 
      • Siamo di fronte a punti di discontinuità di 2° tipo.

• •  
    • per $ x_j = \frac{\pi}{4}+k\pi; \displaystyle\lim_{x \to x_j} f(x) = $
    • $ \displaystyle\lim_{x \to x_j} \frac{\frac{sinx}{cosx} -1}{sinx-cosx} = $
    • $ \displaystyle\lim_{x \to x_j} \frac{1}{cosx} \cdot 1 = \sqrt{2}$
    •  Questo tipo di discontinuità è eliminabile (esiste il limite finito)