Punti singolari con parametro.

$ f(x) = \frac{x^2+4k}{x^2+kx-2} $

a.  Per avere un punto singolare di seconda specie in x = 1. Almeno uno dei limiti laterali deve essere divergente. Proviamo con il limite

$\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = |∞| $

$\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{1+4k}{k-1} = |∞| $

Limite verificato per k = 1.

b.  punto singolare per x = 2

Analizziamo il comportamento delle funzioni nelle vicinanze di 2

$\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x) = $

$ = \displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{4(1+k)}{2(1+k)} = $

$ = \displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{2(1+k)}{1+k} = $

Per k = -1 si ha una discontinuità eliminabile in x = 2.

c.  Per k = -1, la funzione diventa

$ f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{(x+1)(x-2)}  =  \frac{x+2}{x+1} $

è questa è una funzione omografica (iperbole equilatera) priva del punto x = 2.