[Risolto] PUNTI SINGOLARI

$f(x) = \frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x^2-1} - \sqrt{3}}$

1. Dominio
   • $\sqrt{x-2} \,\, \implies \,\, x \ge 2$
   • $\{\sqrt{x^2-1} \,\,\implies\,\, x \le -1 \,\,\lor \,\, x \ge 1$
   • $\sqrt{x^2-1} - \sqrt{3} \,\,\ \implies x \ne ± 2$

Dominio = (2, +∞)

Il punto x = 2 è un punto di frontiera quindi potrebbe essere considerato come un punto di discontinuità.

Vediamo il comportamento della funzione f(x) in un intorno di x = 2.

Osserviamo che f(2) è una forma indeterminata del tipo $\frac {0}{0}$

Eliminiamo l'indeterminazione prima di procedere con il limite.

• Razionalizziamo il rapporto moltiplicando e dividendo per $ \sqrt{x^2-1} + \sqrt{3}$
• $ \frac {\sqrt{x-2} \cdot (\sqrt{x^2-1} + \sqrt{3})}{(x+2)(x-2)}$
• Semplifichiamo $\sqrt{x-2}$
• $ \frac {\sqrt{x^2-1} + \sqrt{3}}{(x+2) \sqrt{(x-2)}}$
• Passiamo al limite

$\displaystyle\lim_{x \to 2^+} \frac {\sqrt{x^2-1} + \sqrt{3}}{(x+2) \sqrt{x-2}} = + \infty$

Conclusione. x = 2 è un punto di discontinuità di seconda specie per f(x).