Punti e rette unite in una simmetria assiale

Puoi risolvere il sistema sapendo che perché un punto si dica unito deve accadere che $x'=x,\ y'=y$ dove gli apici rappresentano i punti trasformati, considerando quindi il tuo sistema risolvi una delle due equazioni;

$x= \frac{4}{5} x +\frac{3}{5} y + \frac{3}{5}$

$5x=4x+3y+3$

$y=\frac{1}{3} x -1$

Ogni punto appartenente a tale retta è un punto unito dopo la trasformazione definita nel sistema.

Una retta unita rispetto ad una trasformazione è una retta che dopo la trasformazione considerata coincide con sé stessa.

L'equazione di una retta non parallela all'asse $y$ è:

$y=mx+q$, nel nostro caso $y'=mx'+q$ e secondo quanto specificato nel sistema:

$\frac{3}{5} x -\frac{4}{5} y - \frac{9}{5} = m(\frac{4}{5}x +\frac{3}{5} y + \frac{3}{5}) +q$

$3x-4y-9=4mx+3my+3m+5q$

$3my+4y=3x-4mx-3m-5q-9$

$y(3m+4)=(3-4m)x-3m-5q-9$

$y= \frac{3-4m}{3m+4} x + \frac{-3m-5q-9}{3m+4}$

Perché le rette siano unite deve accadere quindi che abbiano equazioni equivalenti, in particolare che il coefficiente angolare e che l'intersezione con l'ordinata siano uguali, quindi:

$\begin{equation} \begin{cases} \frac{3-4m}{3m+4} = m \\ \frac{3m-5q-9}{3m+4} = q \end{cases} \end{equation}$

$\begin{equation} \begin{cases} 3m^2+8m-3=0 \\  3m-5q-9=q(3m+4) \end{cases} \end{equation}$

$\begin{equation} \begin{cases} m = -3 \lor m = \frac{1}{3} \\ -3m-5q-9=q(3m+4) \end{cases} \end{equation}$

Dato che abbiamo già considerato il caso in cui $m=\frac{1}{3},\ q =-1$ per trovare la retta con tutti i punti uniti non ci resta che considerare il caso in cui $m=-3$ e sostituire nella seconda equazione per trovare $q$:

$-3 \times -3 -9 -5q = q(3 \times -3 +4)$

$9-9-5q=q(-9+4)$

$-5q=-5q$

$q=q$

L'equazione è verificata per $q \in \mathbb{R}$, anche per numeri complessi in realtà, però non li considereremo in questo esercizio.

Dalle equazioni nel sistema: $\frac{3-4m}{3m+4} = m = -3 ,\ \frac{3m-5q-9}{3m+4} = q$ possiamo sostituire nella forma esplicita della nostra equazione e otterremo che:

$y=-3x+q$

Nel libro $q$ è sostituito con la lettera $k$, ma naturalmente non fa differenza.