Punti e rette unite in una simmetria assiale

Puoi risolvere il sistema sapendo che perché un punto si dica unito deve accadere che $x^{\prime }=x,y^{\prime }=y$ dove gli apici rappresentano i punti trasformati, considerando quindi il tuo sistema risolvi una delle due equazioni;

$x=\frac{4}{5}x+\frac{3}{5}y+\frac{3}{5}$

$5x=4x+3y+3$

$y=\frac{1}{3}x-1$

Ogni punto appartenente a tale retta è un punto unito dopo la trasformazione definita nel sistema.

Una retta unita rispetto ad una trasformazione è una retta che dopo la trasformazione considerata coincide con sé stessa.

L'equazione di una retta non parallela all'asse $y$ è:

$y=mx+q$, nel nostro caso $y^{\prime }=m{x}^{\prime }+q$ e secondo quanto specificato nel sistema:

$\frac{3}{5}x-\frac{4}{5}y-\frac{9}{5}=m(\frac{4}{5}x+\frac{3}{5}y+\frac{3}{5})+q$

$3x-4y-9=4mx+3my+3m+5q$

$3my+4y=3x-4mx-3m-5q-9$

$y(3m+4)=(3-4m)x-3m-5q-9$

$y=\frac{3-4m}{3m+4}x+\frac{-3m-5q-9}{3m+4}$

Perché le rette siano unite deve accadere quindi che abbiano equazioni equivalenti, in particolare che il coefficiente angolare e che l'intersezione con l'ordinata siano uguali, quindi:

$\{\begin{array}{l}\frac{3-4m}{3m+4}=m\\ \frac{3m-5q-9}{3m+4}=q\end{array}$

$\{\begin{array}{l}3m^2+8m-3=0\\ 3m-5q-9=q(3m+4)\end{array}$

$\{\begin{array}{l}m=-3\vee m=\frac{1}{3}\\ -3m-5q-9=q(3m+4)\end{array}$

Dato che abbiamo già considerato il caso in cui $m=\frac{1}{3},q=-1$ per trovare la retta con tutti i punti uniti non ci resta che considerare il caso in cui $m=-3$ e sostituire nella seconda equazione per trovare $q$:

$-3\times -3-9-5q=q(3\times -3+4)$

$9-9-5q=q(-9+4)$

$-5q=-5q$

$q=q$

L'equazione è verificata per $q\in \mathbb{R}$, anche per numeri complessi in realtà, però non li considereremo in questo esercizio.

Dalle equazioni nel sistema: $\frac{3-4m}{3m+4}=m=-3,\frac{3m-5q-9}{3m+4}=q$ possiamo sostituire nella forma esplicita della nostra equazione e otterremo che:

$y=-3x+q$

Nel libro $q$ è sostituito con la lettera $k$, ma naturalmente non fa differenza.