[Risolto] Punti di singolarità e di discontinuità di una funzione

Problema:

Individua i punti di singolarità e/o discontinuità della seguente funzione:

$f(x)=A \cup B$

$A= \frac{x²-x}{x²-1}, x<1$

$B=\frac{1}{x+1}, x≥1$

Soluzione:

Per verificare la continuità è necessario che il limite destro e sinistro con $x \rightarrow 1$ siano coincidenti:

$\lim_{x \rightarrow 1^-} A=  \lim_{x \rightarrow 1^-} \frac{x(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\lim_{x \rightarrow 1^-} \frac{x}{(x+1)}=\frac{1}{2}$

$\lim_{x \rightarrow 1^+} B= \frac{1}{2}$

La funzione risulta dunque continua in $x=1$.

Poiché le due funzioni che la compongono sono fratte è necessario verificare che $f(x)$ sia continua anche nei loro domini di esistenza:

A: $x²-1≠0 \rightarrow x≠\pm1$

B: $x+1≠0 \rightarrow x≠-1$

Dato che in $x=1$ non ci sono problemi è necessario verificare il limite destro e sinistro per $x \rightarrow -1$:

$\lim_{x \rightarrow -1^-} A= \lim_{x \rightarrow -1^-} \frac{x}{(x+1)}=\frac{-1^-}{0^-}=+∞$

$\lim_{x \rightarrow -1^+} A= \lim_{x \rightarrow -1^+} \frac{x}{(x+1)}=\frac{-1^+}{0^+}=-∞$

La singolarità risulta dunque essere di seconda specie dato che almeno uno dei due limiti è un infinito.