[Risolto] PUNTI DI SINGOLARITA'

$y(x) = \frac {|x^2-3x+2|}{(x^2-1)} = \frac {|x^2-3x+2|}{(x-1)(x+1)} $

• Dominio = ℝ \ {-1, 1}

La funzione è continua in tutto il dominio, essendo composizione, somma, etc. di funzioni elementari continue.

I punti di discontinuità sono x = -1 & x = 1.

• x = -1  

$\displaystyle\lim_{x \to -1^-} y(x) = +\infty$

questo è sufficiente per affermare che trattasi di una discontinuità di 2° tipo.

• x = 1

$\displaystyle\lim_{x \to 1^-} y(x) = -\frac {1}{2}$

$\displaystyle\lim_{x \to 1^+} y(x) = \frac {1}{2}$

Si tratta di una discontinuità di 1° tipo con salto

$δ = \frac {1}{2} - (-\frac {1}{2}) = 1$

Esiste un capitolo della teoria delle funzioni continue dove si dimostra che:

1. Le funzioni elementari (polinomi, log, exp, trigo etc.) sono funzioni continue

2. Le operazioni di somma, prodotto, composizione etc. di funzioni continue è ancora una funzione continua.

Quindi la funzione data è di fatto una funzione continua in tutto il suo dominio.

Questa considerazione evita di cercare i punti di discontinuità nel Dominio.

Chi ti dice che la funzione data è continua / discontinua per x=5 o per x = 10?

 Il preambolo sulla continuità chiarisce questo tipo legittimo di dubbi.

Consideriamo i due punti x=-1 e x=1. Non sono punti dove la funzione è definita quindi non ha senso chiedere se è rossa, gialla, crescente etc. Ma, alcuni matematici, estendono il concetto di discontinuità anche per tali punti.  E' questo il caso dei tuoi esercizi.

Spero di aver chiarito i tuoi dubbi altrimenti non farti scrupolo a porre ulteriori domande.