[Risolto] PUNTI DI SINGOLARITA'

$ y(x) = \frac {x^2-4}{x^2-x-2} = \frac {(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)}$

• Dominio = ℝ \ {-1, 2}

note:

La funzione è continua laddove definita.

I punti x=-1 & x=2 sono punti di discontinuità.

• x = - 1

Analizziamo il comportamento della funzione nell'intorno del punto

$ \displaystyle\lim_{x \to -1^-} y(x) = -\infty $

questo è sufficiente per affermare che trattasi di una discontinuità di 2° specie.

• x = 2  

Propongo due modi di affrontare il problema. 

1° modo.

Dalla seconda scrittura di y(x) immagino di semplificare il termine (x-2) in tal caso ottengo una funzione $\hat y(x) $ estensione della y(x) data dove ho eliminato la discontinuità.

$\hat y(x) = \begin{cases} y(x) & \text{if $ x \ne 2$} \\ \frac {4}{3} & \text {if $ x = 2$} \end{cases} $

nota 4/3 è il valore assunto da $\hat y(x)$ nel punto x = 2.

Conclusione banale. Per x = 2,  y(x) ha una discontinuità eliminabile.

.

2° modo

$ \displaystyle\lim_{x \to 2^-} y(x) = \frac{4}{3}$

$ \displaystyle\lim_{x \to 2^+} y(x) = \frac{4}{3}$

La discontinuità è del terzo tipo cioè eliminabile.