[Risolto] Punti di singolarità

Problema:

Studia gli eventuali punti di singolarità della funzione $f(x)=\lim_{x \rightarrow +∞} \frac{1}{1+|2 \sin x-1|ⁿ}$.

Soluzione:

La funzione può essere divisa in due casi:

quando 2sinx-1≥0, ossia $\frac{π}{6}+2kπ≤x≤\frac{5π}{6}+2kπ, k\in \mathbb{Z}$, $f_1(x)=\frac{1}{1+(2 \sin x-1)ⁿ}$;

quando 2sinx-1<0, ossia $2kπ≤x<\frac{π}{6} \vee$ $\frac{5π}{6}+2kπ<x≤2(π+kπ), k \in \mathbb{Z}$, $f_2(x)=\frac{1}{1+(1-2 \sin x)ⁿ}$.

 Dato che $f_1$ ha denominatore sempre positivo non vi sono problemi, invece in $f_2$ vi sono problemi per $n$ dispari dato che il segno negativo verrebbe mantenuto e potrebbe portare il denominatore a 0.

Dunque per $f_2$ si ha che 1-2sinx≠-1 $\rightarrow$ sinx≠1 $\rightarrow x≠\frac{π}{2}+2kπ, k \in \mathbb{Z}$; essa rappresenta una singolarità eliminabile.

Sempre nel caso $f_2$ quando $x=kπ, k \in \mathbb{Z}$, si ha che il segno di sinx è opposto per $kπ^+$ e $kπ^-$ e dunque vi è presente un punto di salto.