[Risolto] PUNTI DI NON DERIVABILITA'

$ f(x) = \sqrt[3]{x^3-3x^2}$

La funzione f(x) è definita in tutto ℝ. Calcoliamone la derivata

$f'(x) = \frac {x(3x-2)}{3 \sqrt[3] {((x-3)x^2)^2}}$

Nei punti x = 0 e x = 3 in denominatore della funzione derivata si annulla; questi sono i due punti di non derivabilità. Determiniamone i limiti laterali.

• Per x = 0 

$ \displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x) = - \infty $   [0⁻ (-2)] / (3(-3)0⁺) = -∞

$ \displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x) = + \infty $   [0⁺ (-2)] / (3(-3)0⁺) = +∞

a sinistra tende a -∞ a destra +∞ quindi si tratta di una cuspide.

• Per x = 3 

$ \displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x) = + \infty $

$ \displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x) = + \infty $ 

a sinistra tende a +∞ a destra +∞ quindi si tratta di un flesso a tangente verticale.