[Risolto] PUNTI DI NON DERIVABILITA'

Esamina prima l'argomento del modulo:

(x^3 + 2·x^2) - (4·x + 8)

per poter trascrivere la funzione come una definita a tratti (cioè funzione equivalente a quella data)

Lo scomponiamo in fattori:

x^2·(x + 2) - 4·(x + 2)=

=(x + 2)·(x^2 - 4)=

=(x + 2)·((x + 2)·(x - 2))= (x - 2)·(x + 2)^2

Quindi il primo fattore determina il segno della funzione in quanto (x+2)^2 è sempre positivo

Il modulo quindi si libera scrivendo

ABS(x^3 + 2·x^2 - 4·x - 8) = x^3 + 2·x^2 - 4·x - 8

se x ≥ 2

ABS(x^3 + 2·x^2 - 4·x - 8) = - (x^3 + 2·x^2 - 4·x - 8)

se x < 2

Quindi la funzione definita  a tratti è:

y=

{x^3 + 2·x^2 - 4·x - 8  per x ≥ 2

{- (x^3 + 2·x^2 - 4·x - 8)  per x < 2

Hai quindi una funzione continua in tutto R che si annulla in x=2 ed in x=-2 di cui però l'unico punto che devi considerare è x=2. In tale punto hai due derivate diverse:

y'=

{3·x^2 + 4·x - 4 per x ≥ 2

{- 3·x^2 - 4·x + 4 per x < 2

per x=2 hai:

3·2^2 + 4·2 - 4 = 16

mentre risulta:

LIM(- 3·x^2 - 4·x + 4) = -16

x---> 2-

Quindi un punto angoloso: