[Risolto] PUNTI DI NON DERIVABILITA'

Verifichiamo prima di tutto se la funzione è continua in 0:

$lim_{x\rightarrow 0^+} \sqrt{x |lnx-1|} = 0 \cdot +\infty$

Nota che per $x\in I^+(0)$, $|lnx -1| = 1-lnx$ quindi possiamo scrivere:

$lim_{x\rightarrow 0^+} \sqrt{x (1-lnx)} =lim_{x\rightarrow 0^+} \sqrt{x - xlnx}$

Nota inoltre:

$ lim_{x\rightarrow 0^+} x lnx = lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{lnx}{1/x} = 0$

essendo 1/x infinito di ordine superiore e dunque:

$lim_{x\rightarrow 0^+} \sqrt{x - xlnx} = lim_{x\rightarrow 0^+} \sqrt{x} = 0$

e cioè la funzione è continua.

Calcoliamo ora il limite del rapporto incrementale:

$ lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

che per $x=0$ é

$ lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}$

e tenendo conto che $f(0)=0$ abbiamo:

$ lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{\sqrt{h(1-ln(h)}}{h}$

portando sotto radice (h è positivo):

$ lim_{h \rightarrow 0^+} \sqrt{\frac{h(1-ln(h)}{h^2}}$

$ lim_{h \rightarrow 0^+} \sqrt{\frac{(1-ln(h)}{h}} = \frac{+\infty}{0^+} = +\infty$

dunque abbiamo un flesso a tangente verticale per $x=0$.

Avendo un valore assoluto dobbiamo anche capire cosa succede dove questo si annulla, dunque per:

$lnx -1 = 0 \rightarrow x = e$

Notiamo prima di tutto che per $x=e$ si ha:

$ f(e) = \sqrt{e |lne-1|} = 0$

La funzione è continua in un intorno di $x=e$, dunque possiamo usare il teorema di Darboux e sfruttare il limite della derivata:

$f'(x)= \frac{1}{2 \sqrt{x|lnx-1|}} \cdot (|lnx-1| + x sgn(lnx-1) \cdot \frac{1}{x})$

e semplificando:

$f'(x)= \frac{|lnx-1| + sgn(lnx-1)}{2 \sqrt{x|lnx-1|}}$

Ora calcoliamo i limiti destro e sinistro:

$lim_{x \rightarrow e^+} \frac{|lnx-1| + sgn(lnx-1)}{2 \sqrt{x|lnx-1|}} = \frac{+1}{0} = +\infty$

e 

$lim_{x \rightarrow e^-} \frac{|lnx-1| + sgn(lnx-1)}{2 \sqrt{x|lnx-1|}} = \frac{-1}{0} = -\infty$

dunque in $x=e$ abbiamo una cuspide.

Noemi